Call us: +8801580784884 | shaheenofficial247@gmail.com

Login

অনুক্রম, ধারা ও ধারার প্রকারভেদ

অনুক্রম (Sequence)

যে রাশিগুলোকে একটি বিশেষ নিয়ম অনুসরণ করে ক্রমান্বয়ে এমনভাবে সাজানো হয় যে প্রত্যেক রাশি তার পূর্বের পদ ও পরের পদের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তা জানা যায় তাদের সেটকে অনুক্রম বলা হয়। যেমন:

\{2, 4, 6, 8, 10, . . . . . . . . . . \} জোড় সংখ্যার সেটটি একটি অনুক্রম।

এই সেটের প্রতিটি রাশি তার পূর্বের পদের দ্বিগুণ এবং তার পরের পদের অর্ধেক। অর্থাৎ রাশিগুলোকে একটি নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসরণ করে ক্রমান্বয়ে সাজানো হয়েছে।

এখানে,

স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N = \{1, 2, 3, 4, 5, . . . . . . . . . . \}

এবং একটি অনুক্রম A = \{2, 4, 6, 8, 10, . . . . . . . . . . \} হলে,

অনুক্রমের রাশিগুলোর সম্পর্ককে n \leftrightarrow 2n, n\in N দ্বারা বর্ণনা করা যায়। যেকোনো অনুক্রমের পদসংখ্যা অসীম।

উল্লেখিত অনুক্রমের সম্পর্কটিকে ফাংশন আকারে প্রকাশ করলে হবে f(n) = 2n

এই অনুক্রমের সাধারণ পদ 2n

অনুক্রমের আরো উদাহরণ:

1, 2, 3, 4, 5, . . . . . . . . . .

এই অনুক্রমের রাশিগুলো ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা এবং এর সাধারণ পদ n

1, 4, 9, 16, 25, . . . . . . . . . .

এই অনুক্রমের রাশিগুলোর সম্পর্ককে n \leftrightarrow n^2, n\in N দ্বারা বর্ণনা করা যায় এবং এর সাধারণ পদ n^2

\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, . . . . . . . . . .

এই অনুক্রমের রাশিগুলোর সম্পর্ককে n \leftrightarrow \frac{n}{n+1}, n\in N দ্বারা বর্ণনা করা যায় এবং এর সাধারণ পদ \frac{n}{n+1}

অনুক্রমের সাধারণ পদ দেওয়া থাকলে অনুক্রমটি সহজেই লেখা যায়। যেমন:

একটি অনুক্রমের সাধারণ পদ \frac{1}{2^{n-1}} হলে, অনুক্রমটি নিম্নরূপ হবে

1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, . . . . . . . . . .

ধারা (Series)

কোনো অনুক্রমের পদগুলো পরপর ‘+’ চিহ্ন দ্বারা যুক্ত করলে একটি ধারা গঠিত হয়। যেমন:

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + . . . . . . . . . .

2 + 6 + 18 + 54 + 162 + . . . . . . . . . .

উল্লেখিত দুইটি ধারার মধ্যে প্রথম ধারাটির পরপর দুইটি পদের পার্থক্য সমান।

অর্থাৎ 4 -2 = 2, 6 - 4 = 2, 8 - 6 = 2 ইত্যাদি।

আবার, দ্বিতীয় ধারাটির ক্ষেত্রে পরপর দুইটি পদের অনুপাত সমান।

অর্থাৎ 6 \div 2 = 3, 18 \div 6 = 3, 54 \div 18 = 3 ইত্যাদি।

যেকোনো ধারার পরপর দুইটি পদের মধ্যে যে সম্পর্ক থাকে তা দ্বারা ধারাটির বৈশিষ্ট নির্ধারিত হয়। এরূপ দুইটি গুরুত্বপূর্ণ ধারা হলো সমান্তর ধারা ও গুণোত্তর ধারা।

পদ সংখ্যার ভিত্তিতে ধারার প্রকারভেদ

ধারার পদের সংখ্যার উপর নির্ভর করে ধারাকে দুইভাবে ভাগ করা যায়। যথা:

১। সসীম ধারা

২। অসীম ধারা

সসীম ধারা বা সান্তধারা (Finite Series)

যে ধারার পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট তাকে সসীম ধারা বলে। যেমন:

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + . . . . . . . . . + 256

2 + 6 + 18 + 54 + 162 + . . . . . . . . . . + 1458

অসীম ধারা বা অনন্তধারা (Infinite Series)

যে ধারার পদ সংখ্যা অনির্দিষ্ট তাকে অসীম ধারা বলে। যেমন:

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + . . . . . . . . .

2 + 6 + 18 + 54 + 162 + . . . . . . . . . .

বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে ধারার প্রকারভেদ

ধারার পর পর দুইটি পদের মধ্যে সম্পর্ক দ্বারা ধারার বৈশিষ্ট্য নির্ধারিত হয়। বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভর করে ধারাকে দুইভাবে ভাগ করা যায়। যথা:

১। সমান্তর ধারা

২। গুণোত্তর ধারা

সমান্তর ধারা

কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য (বিয়োগফল) সমান হলে তাকে সমান্তর ধারা বলে। সমান্তর ধারা সসীম বা অসীম যেকোনোটি হতে পারে। যেমন:

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + . . . . . . . . . + 256

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + . . . . . . . . .

গুণোত্তর ধারা

কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত (ভাগফল) সমান হলে তাকে গুণোত্তর ধারা বলে। গুণোত্তর ধারাও সসীম বা অসীম যেকোনোটি হতে পারে। যেমন:

2 + 6 + 18 + 54 + 162 + . . . . . . . . . . + 1458

2 + 6 + 18 + 54 + 162 + . . . . . . . . . .

14 responses on "অনুক্রম, ধারা ও ধারার প্রকারভেদ"

  1. Well description.

  2. কবির আহমদJanuary 4, 2020 at 1:30 amReply

    ছাত্র জীবনে অনেক কিছু শিখতে পারিনি কিন্তু কর্ম জীবনে এসে শিখতে বাধ্য ।
    ধন্যবাদ স্যার।

  3. Good💖💖💖

  4. Good💖💖💖

  5. Excellent work. I need this badly & finally I got it

Leave a Message

Your email address will not be published.

© mathbd.com