Learn Mathematics Anytime

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি প্রয়োগ বেসিক-২। ৯ম-১০ম গণিত

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি প্রয়োগ বেসিক-২

বিষয়বস্তু: বীজগাণিতিক রাশি (৯ম-১০ম গণিত)

নিচের প্রশ্নাবলি সমাধান করা শিখলে আশা করা যায় এ সংক্রান্ত অপরাপর সমস্যাবলি সমাধানের যোগ্যতা অর্জিত হবে।

১। $x^2-2x+1=0$ হলে,

ক) $x+\frac{1}{x}$ এবং $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ) $x-\frac{1}{x}$ এবং $\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ) $\frac{x^4+1}{x^2}$ এর মান নির্ণয় কর।

ঘ) $\frac{x^4-1}{x^2}$ এর মান নির্ণয় কর।

১/ক) এর সমাধান

$x^2-2x+1=0$

বা, $\frac{x^2-2x+1}{x}=\frac{0}{x}$

বা, $\frac{x^2}{x}-\frac{2x}{x}+\frac{1}{x}=0$

বা, $x-2+\frac{1}{x}=0$

$\therefore x+\frac{1}{x}=2$

আবার

$x+\frac{1}{x}=2$

বা, $(\sqrt{x})^2+(\frac{1}{\sqrt{x}})^2=2$

বা, $(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})^2-2.\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}=2$

বা, $(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})^2-2=2$

বা, $(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})^2=2+2$

বা, $(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})^2=4$

$\therefore \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\pm2$

১/খ) এর সমাধান

$(x-\frac{1}{x})^2= (x+\frac{1}{x})^2-4.x.\frac{1}{x}$

বা, $(x-\frac{1}{x})^2= 2^2-4$

বা, $(x-\frac{1}{x})^2= 4-4$

বা, $(x-\frac{1}{x})^2= 0$

$\therefore x-\frac{1}{x}= 0$

আবার

$x+\frac{1}{x}=2$

বা, $(\sqrt{x})^2+(\frac{1}{\sqrt{x}})^2=2$

বা, $(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2+2.\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}=2$

বা, $(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2+2=2$

বা, $(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2=2-2$

$\therefore \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}=0$

১/গ) এর সমাধান

$\frac{x^4+1}{x^2}$

$= \frac{x^4}{x^2}+\frac{1}{x^2}$

$= x^2+\frac{1}{x^2}$

$= (x+\frac{1}{x})^2-2.x.\frac{1}{x}$

$= 2^2-2$

$= 4-2$

$= 2$

১/ঘ) এর সমাধান

$\frac{x^4-1}{x^2}$

$= \frac{x^4}{x^2}-\frac{1}{x^2}$

$= x^2-\frac{1}{x^2}$

$= (x+\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})$

$= 2\times 0$

$= 0$

২। $p^2-1=4p$ হলে,

ক) $p+\frac{1}{p}$ এবং $p-\frac{1}{p}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ) $p^2+\frac{1}{p^2}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ) $p^4+\frac{1}{p^4}$ এর মান নির্ণয় কর।

২/ক) এর সমাধান

$p^2-1=4p$

বা, $\frac{p^2-1}{p}=\frac{4p}{p}$

বা, $\frac{p^2}{p}-\frac{1}{p}=4$

$\therefore p-\frac{1}{p}=4$

আবার,

$(p+\frac{1}{p})^2=(p-\frac{1}{p})^2+4.p.\frac{1}{p}$

বা, $(p+\frac{1}{p})^2=4^2+4$

বা, $(p+\frac{1}{p})^2=20$

বা, $(p+\frac{1}{p})=\pm \sqrt{20}$

বা, $(p+\frac{1}{p})=\pm \sqrt{4.5}$

$\therefore p+\frac{1}{p}=\pm 2\sqrt{5}$

২/খ) এর সমাধান

$p^2+\frac{1}{p^2}=(p-\frac{1}{p})^2+2.p.\frac{1}{p}$

বা, $p^2+\frac{1}{p^2}=4^2+2$

$\therefore p^2+\frac{1}{p^2}= 18$

২/গ) এর সমাধান

$p^4+\frac{1}{p^4}$

$= (p^2)^2+(\frac{1}{p^2})^2$

$= (p^2+\frac{1}{p^2})^2-2.p^2.\frac{1}{p^2}$

$= 18^2-2$

$= 324-2$

$= 322$

৩। $b^2-2\sqrt{6}b+1=0$ হলে,

ক) $b-\frac{1}{b}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ) $b^4-\frac{1}{b^4}$ এর মান নির্ণয় কর।

৩/ক) এর সমাধান

$b^2-2\sqrt{6}b+1=0$

বা, $\frac{b^2-2\sqrt{6}b+1}{b}=\frac{0}{b}$

বা, $\frac{b^2}{b}-\frac{2\sqrt{6}b}{b}+\frac{1}{b}=0$

বা, $b-2\sqrt{6}+\frac{1}{b}=0$

বা, $b+\frac{1}{b}=2\sqrt{6}$

বা, $(b+\frac{1}{b})^2=(2\sqrt{6})^2$

বা, $(b-\frac{1}{b})^2+4.b.\frac{1}{b}=24$

বা, $(b-\frac{1}{b})^2+4 =24$

বা, $(b-\frac{1}{b})^2 =20$

বা, $b-\frac{1}{b} =\pm\sqrt{20}$

$\therefore b-\frac{1}{b} =\pm 2\sqrt{5}$

৩/খ) এর সমাধান

$b-\frac{1}{b} =\pm 2\sqrt{5}$

বা, $(b-\frac{1}{b})^2 =(\pm 2\sqrt{5})^2$

বা, $b^2-2.b.\frac{1}{b}+\frac{1}{b^2} =20$

বা, $b^2-2+\frac{1}{b^2} =20$

বা, $b^2+\frac{1}{b^2} =22$

বা, $(b^2+\frac{1}{b^2})^2 =22^2$

বা, $(b^2)^2+2.b^2.\frac{1}{b^2}+(\frac{1}{b^2})^2 = 484$

বা, $b^4+2+\frac{1}{b^4} = 484$

বা, $b^4+\frac{1}{b^4} = 482$

বা, $(b^4+\frac{1}{b^4})^2 = 482^2$

বা, $(b^4-\frac{1}{b^4})^2 + 4.b^4.\frac{1}{b^4}= 232324$

বা, $(b^4-\frac{1}{b^4})^2 + 4 = 232324$

বা, $(b^4-\frac{1}{b^4})^2 = 232320$

বা, $b^4-\frac{1}{b^4} = \pm \sqrt {232320}$

বা, $b^4-\frac{1}{b^4} = \pm \sqrt {2^7\times{3}\times{5}\times{11^2}}$

$\therefore b^4-\frac{1}{b^4} = \pm 88\sqrt {30}$

৪। একটি ধনাত্মক সংখ্যার বর্গ ঐ সংখ্যার পাঁচগুণ হতে 1 কম।

ক) সংখ্যাটি x হলে দেখাও যে, $x+\frac{1}{x}= 5$

খ) $(x-\frac{1}{x})^2$ এর মান কত?

গ) $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$ এর মান নির্ণয় কর।

ঘ) $\frac{x^8+1}{x^4}$ এর মান নির্ণয় কর।

৪/ক) এর সমাধান

সংখ্যাটি x হলে, প্রশ্নমতে

$x^2 = 5x-1$

বা, $\frac{x^2}{x} = \frac{5x-1}{x}$

বা, $x = \frac{5x}{x}-\frac{1}{x}$

বা, $x = 5 -\frac{1}{x}$

$\therefore x +\frac{1}{x} = 5$

৪/খ) এর সমাধান

$(x -\frac{1}{x})^2 = (x +\frac{1}{x})^2 - 4.x.\frac{1}{x}$

বা, $(x -\frac{1}{x})^2 = 5^2 - 4$

বা, $(x -\frac{1}{x})^2 = 25 - 4$

$\therefore (x -\frac{1}{x})^2 = 21$

৪/গ) এর সমাধান

$x +\frac{1}{x} = 5$

বা, $(\sqrt{x})^2 +(\frac{1}{\sqrt{x}})^2 = 5$

বা, $(\sqrt{x} +\frac{1}{\sqrt{x}})^2 - 2.\sqrt{x} .\frac{1}{\sqrt{x}} = 5$

বা, $(\sqrt{x} +\frac{1}{\sqrt{x}})^2 - 2 = 5$

বা, $(\sqrt{x} +\frac{1}{\sqrt{x}})^2 = 5 + 2$

$\therefore (\sqrt{x} +\frac{1}{\sqrt{x}})^2 = 7$

৪/ঘ) এর সমাধান

$\frac{x^8+1}{x^4}$

$= \frac{x^8}{x^4}+\frac{1}{x^4}$

$= x^4 +\frac{1}{x^4}$

$= ( x^2)^2 + (\frac{1}{x^2})^2$

$= ( x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2. x^2 . \frac{1}{x^2}$

$= \{( x + \frac{1}{x})^2 - 2. x . \frac{1}{x}\}^2 - 2$

$= (5^2 - 2)^2 - 2$

$= (25 - 2)^2 - 2$

$= 23^2 - 2$

$= 529 - 2$

$= 527$

এরপর জানতে হবে

বীজগাণিতিক রাশির সূত্রাবলি প্রয়োগ বেসিক-১

বীজগণিতীয় রাশির সূত্রাবলি প্রয়োগ বেসিক-৩

Related Articles

5 comments

mirazul islam
October 30, 2019 at 10:50 pm

very nice sir

Reply
Mehedi Hasan
April 1, 2020 at 6:01 pm

স্যার প্রতিটি অধ্যায়ের সাজেশন দেন।

Reply
- Samsuddin Shaheen
  September 19, 2020 at 11:54 pm
  
  শীঘ্রই দিবো।
  
  Reply
Md Likhon Al Mamun
December 12, 2021 at 5:56 pm

খুব ভালো লাগল ।

Reply
Md Likhon Al Mamun
December 12, 2021 at 6:00 pm

gd

Reply

Leave a Reply Cancel reply