প্রতিসমতা ও এর প্রকারভেদ
বিষয়বস্তু: অনুপাত, সদৃশতা ও প্রতিসমতা (৯ম-১০ম গণিত)
আলোচ্য বিষয়সমূহ:
প্রতিসমতা কী, সুষম বহুভূজের প্রতিসাম্য রেখা, রেখা প্রতিসমতা, প্রতিসাম্য রেখা, ঘূর্ণন প্রতিসমতা, একই চিত্রে রেখা প্রতিসমতা ও ঘুর্ণন প্রতিসমতা ও বৃত্তের প্রতিসমতা।
প্রতিসমতা
প্রতিসমতা হলো কোনো বস্তুকে প্রতিফলন, ঘূর্ণন, আরোহী পদ্ধতি ইত্যাদি বিবিধ রূপান্তর প্রক্রিয়ার মাধ্যমে বস্তুটির একই (অপরিবর্তিত) আকার ও আকৃতি দেখানো। এটি একটি প্রয়োজনীয় জ্যামিতিক ধারণা। এটি প্রকৃতিতেও বিদ্যমান এবং আমাদের দৈনন্দিন বিভিন্ন কর্মকান্ডেও এটি রয়েছে। গাছের পাতা, ফুল, মৌচাক, ঘরবাড়ি, টেবিল, চেয়ার সবকিছুর মধ্যে প্রতিসমতা বিদ্যমান। নিচের চিত্রগুলো ভাল করে লক্ষ করলে প্রতিসমতার ধারনা পাওয়া যাবে।
চিত্রগুলোতে প্রতিসমতা বিদ্যমান। চিত্রগুলোকে সরলরেখা বরাবর ভাঁজ করলে তার অংশ দু’টি পুরোপুরি মিলে যাবে। আবার শেষের দু’টি চিত্রকে নির্দিষ্ট বিন্দুর সাপেক্ষে ঘুরালে এর বিভিন্ন অংশের অবস্থানের পরিবর্তন হয় এবং এক পর্যায়ে নতুন অবস্থানে চিত্রগুলো তার আদি অবস্থানের ন্যায় একই হয়।
সুষম বহুভূজের প্রতিসাম্য রেখা
যে বহুভূজের রেখাংশগুলোর দৈর্ঘ্য ও কোণগুলো সমান তাকে সুষম বহুভূজ বলে। সমবাহু ত্রিভূজের বাহু ও কোণগুলো সমান। আবর বর্গক্ষেত্রের বাহু ও কোণগুলো সমান। তাই সমবাহু ত্রিভূজ হলো তিন বাহুবিশিষ্ট এবং বর্গক্ষেত্র হলো চার বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভূজ। অনুরূপভাবে সুষম পঞ্চভূজ ও সুষম ষড়ভূজের বাহু ও কোণগুলো সমান। প্রত্যেক সুষম বহুভূজ একটি প্রতিসম চিত্র।
রেখা প্রতিসমতা বা প্রতিফলন প্রতিসমতা
যদি কোনো চিত্র একটি রেখার উপর এমন দুইটি ভাগে বিভক্ত হয় যেন মনে হয় চিত্রটির অর্ধাংশ প্রতিফলিত হয়ে অপর অর্ধাংশ গঠিত হয়েছে তাহলে উক্ত প্রতিসমতাকে রেখা প্রতিসমতা বা প্রতিফলন প্রতিসমতা বলে।
প্রতিসাম্য রেখা
যে রেখাটির উপর চিত্রটি দুই ভাগে বিভক্ত হয়ে প্রতিফলন প্রতিসমতা সৃষ্টি করে তাকে বলা হয় প্রতিসাম্য রেখা। এ ধরনের প্রতিসমতার ধারণার সাথে আয়নার প্রতিফলনের সম্পর্ক রয়েছে। কোনো জ্যামিতিক চিত্রের প্রতিসাম্য রেখা তখনই থাকে যখন তার অর্ধাংশের প্রতিচ্ছবি বাকি অর্ধাংশের সাথে মিলে যায়। এজন্য প্রতিসাম্য রেখা নির্ণয়ে কাল্পনিক আয়নার অবস্থান রেখার সাহায্য নেওয়া হয়।
লক্ষ করা যাচ্ছে, নিচের জ্যামিতিক চিত্রগুলোতে (সুষম বহুভূজগুলোতে) একাধিক প্রতিসাম্য রেখা রয়েছে।
কোন সুষম বহুভূজের কয়টি প্রতিসাম্য রেখা রয়েছে চিত্রে সেটাই দেখানো হয়েছে। সমবাহু ত্রিভূজের-তিনটি, বর্গক্ষেত্রের-চারটি, পঞ্চভূজের-পাঁচটি এবং ষড়ভূজের-ছয়টি প্রতিসাম্য রেখা রয়েছে।
ঘূর্ণন প্রতিসমতা
যদি কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুর সাপেক্ষে ঘূর্ণনের ফলে কোনো বস্তুর বিভিন্ন অংশের অবস্থানের পরিবর্তন হয় এবং কোন একটি অবস্থানে এসে বস্তুটির আকার ও আকৃতি তার আদি অবস্থানের ন্যায় একই হয় তবে তাকে ঘূর্ণন প্রতিসমতা বলা হয় বা আমরা বলি বস্তুটির ঘূর্ণন প্রতিসমতা রয়েছে। যেমন:
ফ্যানের পাখা, সাইকেলের চাকা, বর্গ ইত্যাদির ঘূর্ণন প্রতিসমতা রয়েছে। ফ্যানের পাখা ঘূর্ণনের সময় একাধিক বার মূল অবস্থানের সাথে মিলে যায়।
ফ্যানের পাখাগুলোর 
ঘূর্ণনের ফলে পাখাগুলোর অবস্থানের পরিবর্তন হয় এবং ফ্যানটি তার আদি অবস্থানের আকার ও আকৃতি ফিরে পায়। ফ্যানটি একটি পূর্ণ ঘূর্ণনে চারবার তার আদি অবস্থানের আকার ও আকৃতি ফিরে পায় (
অবস্থানে)। একটি পূর্ণ ঘূর্ণনের ফলে ফ্যানটি তার আদি অবস্থানে চলে আসে। এজন্য ফ্যানের ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা 4 । একটি বর্গের ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রাও 4 । কারণ বর্গও প্রতিবার ঘূর্ণনের ফলে তার আদি অবস্থানের আকার ও আকৃতি লাভ করে। উল্লেখ্য, একটি পূর্ণ ঘূর্ণনের কোণের পরিমান 
।
যেকোনো চিত্র একবার পূর্ণ ঘূর্ণনের ফলে তার আদি অবস্থানে ফিরে আসে। তাই যেকোনো জ্যামিতিক চিত্রের 1 মাত্রার ঘূর্ণন প্রতিসমতা রয়েছে। ঘূর্ণন প্রতিসমতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে যে বিষয়গুলো লক্ষ রাখতে হবে তা হলো:
১। ঘূর্ণন কেন্দ্র, ২। ঘুর্ণন কোণ, ৩। ঘূর্ণনের দিক এবং ৪। ঘূর্ণনের মাত্রা।
উল্লেখ্য, ঘূর্ণন ঘড়ির কাঁটার দিকে হতে পারে অথবা বিপরীত দিকেও হতে পারে। ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘূর্ণনকে ধনাত্মক দিক হিসেবে ধরা হয়।
একই চিত্রে রেখা প্রতিসমতা ও ঘূর্ণন প্রতিসমতা
কিছু জ্যামিতিক চিত্রের একই সাথে রেখা প্রতিসমতা ও ঘূর্ণন প্রতিসমতা উভয়টি-ই রয়েছে। যেমন: বর্গের 4 টি প্রতিসাম্য রেখা রয়েছে আবার 4 মাত্রার ঘূর্ণন প্রতিসমতাও রয়েছে। তবে সকল জ্যামিতিক চিত্রের-ই উভয় ধরনের প্রতিসমতা থাকবে এমনটি নয়।
বৃত্তের প্রতিসমতা
বৃত্ত একটি আদর্শ প্রতিসম চিত্র। বৃত্তকে তার কেন্দ্রের সাপেক্ষে যেকোনো কোণে বা যেকোনো দিকে ঘুরালে এর অবস্থানের পরিবর্তন বুঝা যায় না। অতএব, বৃত্তের ঘূর্ণন প্রতিসমতা অসীম। বৃত্তের কেন্দ্রগামী যেকোনো রেখা এর প্রতিসাম্য রেখা। তাই বৃত্তের অসংখ্য প্রতিসাম্য রেখা রয়েছে।
S এর ঘুর্ণন কোণ কত
S অক্ষরটি 180 ডিগ্রি ঘুরার পর তার Actual চেহারা ফিরে পায়। তাই S এর ঘূর্ণন প্রতিসমতা 180 ডিগ্রি। কমেন্টের জন্য ধন্যবাদ।
S কে ১৮০ ডিগ্রি কোণে ঘুরাবো ঠিক আছে, কিন্তু S এর কোন বিন্দুকে কেন্দ্র করে ঘুরাবো ?? S কে ১০ ডিগ্রি ঘুরালে কি S চেন্স হয়ে যাচ্ছে ??
S এর অবস্থান পরিবর্তন যাতে না হয় এমনভাবে ঘুরাতে হবে। S অক্ষরটির মাঝখানে একটি বিন্দুকে কেন্দ্র ধরে S কে ঘুরাতে হবে। লক্ষ্য রাখতে হবে ঘুরানোর সময় অক্ষরটি যাতে ডানে, বামে, উপরে, নিচে বা যে কোনোদিকে যাতে সরে না যায়।
s এর ঘূর্নন মাত্রা কত?
কিভাবে বুঝিয়ে দিবেন।। plz
S এর ঘূর্ণন মাত্রা 2 ।
ব্যাখ্যা: S কে ১৮০ ডিগ্রি পর্যন্ত ঘুরালে এটি একবার তার পূর্বের চেহারা ফিরে পায় (১৮০ ডিগ্রিতে এসে)। ৩৬০ পর্যন্ত ঘুরালে সর্বমোট 2 বার তার অবিকল চেহারা ফিরে পায়। তাই S এর ঘূর্ণন মাত্রা ২।
ম এর ঘূর্ণন প্রতিসাম্য কোণ কত ডিগ্রি?
যদি কোনো বস্তু ১৮০ ডিগ্রি ঘূর্ণনের মধ্যে অন্তত একবার তার অবিকল চেহারা ফিরে পায় তাহলে তার ঘূর্ণন প্রতিসমতা আছে বলা যায়। তাই সংজ্ঞা অনুসারে ‘ম’ এর কোনো ঘূর্ণন প্রতিসমতা নেই।
M এর ঘূর্ণনে প্রতিসাম্য কোণ কত ডিগ্রি ?
M এর ঘূর্ণন প্রতিসাম্য কোণ কত ?
যদি কোনো বস্তু ১৮০ ডিগ্রি ঘূর্ণনের মধ্যে অন্তত একবার তার অবিকল চেহারা ফিরে পায় তাহলে তার ঘূর্ণন প্রতিসমতা আছে বলা যায়। তাই সংজ্ঞা অনুসারে ‘M’ এর কোনো ঘূর্ণন প্রতিসমতা নেই।
U R absolutely genius. Thanks. This question had came on ssc 2019
Thank you.
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর পরিমাপx একক হলে,
উহার পরিসীমা ও কর্নের দৈর্ঘ্যের অনুপাত
কত ?
উত্তর: 4: root 2
ব্যাখ্যা:
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x একক হলে পরিসীমা হবে 4xেএকক আর কর্ণের দের্ঘ্য হবে x root 2 । তাই এদের অনুপাত হবে 4 : root 2 ।
আশা করি বুঝতে কোনো অসুবিধা হয়নি।
আর একটা কথা, কোনো একটি পোস্টের অধিনে উক্ত পোস্ট সংশ্লিষ্ট প্রশ্ন করার জন্য পরামর্শ থাকলো। ধন্যবাদ।
∆ABC সমকোণী ত্রিভুজ হবে, যদি এর বাহুগুলোর পরিমাপ হয়-
(১) 5,12,13 একক
(১) 6,8,10 একক
(৩) 14,16,20 একক
উত্তর: ১ ও ২ সঠিক।
ব্যাখ্যা:
সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্য হলো: অতিভূজের উপর অংকিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।
এই উপপাদ্যটিকে বিবেচনায় নিয়ে হিসাব করলেই দেখবে (১) ও (২) সঠিক।
1+3+5+7+…….ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?
উত্তর: n সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি n এর বর্গ।
ব্যাখ্যা:
১+৩ অর্থাৎ দুইটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি জানতে চাওয়া হয়েছে। তাহলে উত্তর হবে ২ এর বর্গ বা ৪।
১+৩+৫ অর্থাৎ তিনটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি জানতে চাওয়া হয়েছে। তাহলে উত্তর হবে ৩ এর বর্গ বা ৯।
১+৩+৫+৭ অর্থাৎ চারটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি জানতে চাওয়া হয়েছে। তাহলে উত্তর হবে ৪ এর বর্গ বা ১৬। ইত্যাদি।
আশা করি, বুঝতে অসুবিধা হয়নি।
M এর ঘূর্ণণ কোণ কত?
যদি কোনো বস্তু ১৮০ ডিগ্রি ঘূর্ণনের মধ্যে অন্তত একবার তার অবিকল চেহারা ফিরে পায় তাহলে তার ঘূর্ণন প্রতিসমতা আছে বলা যায়। তাই সংজ্ঞা অনুসারে ‘M’ এর কোনো ঘূর্ণন প্রতিসমতা নেই।
m এর ঘূর্ণন প্রতিসাম্য কোণ কত? sir ssc math exam a ai question ta asse aibr?tahola apni bltasen ja nai
m এর ঘূর্ণন প্রতিসমতা নেই। কারন কোন একটা বস্তুকে একটি বিন্দুকে কেন্দ্র করে ঘুরালে একটি পূর্ণ ঘূর্ণনের পূর্বেই যদি বস্তুটি তার অবিকল আকৃতি ফিরে পায় তাহলে তার ঘূর্ণন প্রতিসমতা আছে বলা যায়। কিন্তু m কে ঘুরালে ৩৬০ ডিগ্রি বা পূর্ণ ঘুর্ণন সম্পন্ন হওয়ার পূর্বে তা তার অবিকল আকৃতি ফিরে পায় না। ৩৬০ ডিগ্রি ঘুরার পর অবিকল আকৃতি ফিরে পায়। এই হিসেবে বলা যায় যে, এর ঘুর্ণন প্রতিসাম্য কোণ ৩৬০ ডিগ্রি তবে এই অক্ষরটির কোনো ঘূর্ণন প্রতিসমতা নেই। ঘূর্ণন প্রতিসাম্য কোণ নির্ণয় করার সূত্র = ৩৬০/এক পূর্ণঘূর্ণনে যতবার অবিকল আকৃতি পায় তত। এই হিসেবে m এর প্রতিসাম্য কোণ = ৩৬০/১ = ৩৬০ ডিগ্রি।
tnx
M এর ঘুর্ণন কোন কত?
360 degree
H এর প্রতিসাম্য কতটি
H এর প্রতিসাম্য রেখা দুইটি।
trapigiyamer matra koi ti
দুইটি
সামান্তরিকের প্রতিসাম্য রেখা??
সামান্তরিক (Parallelogram) এর কোনো প্রতিসাম্য রেখা নেই।
Aএর ঘূণয়ন কোণ কতো?
A এর ঘূর্ণন প্রতিসমতা নেই।
স্যার আপনার ফোন নম্বরটা দিবেন।
আমার ওয়েবসাইটেই দেয়া আছে। তবে ফোনে কথা না বলে মেইল করলে ভাল হয়।
রম্বসের ghurnon protisomota koto??
রম্বসের ঘূর্নন প্রতিসমতা হলো ২। এটি ১৮০ ডিগ্রিতে একবার এবং ৩৬০ ডিগ্রিতে দ্বিতীয়বার তার অবিকল চেহারা ফিরে পায়।
উপপাদ্যে বোঝার সহজ উপায় কি?
উপপাদ্যটি প্রমানের সাথে জড়িত বিষয়গুলোর উপর দখল থাকা খুবই জরুরী।
উদাহরণস্বরূপ:
যদি বলা হয় “একটি বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যায়ের উপর লম্ব” -এই উপপাদ্যটি প্রমাণ কর।
তাহলে আমাদের যে বিষয়গুলোর উপর দখল থাকতে হবে তা হলো:
১। একই বৃত্তের সকল ব্যসার্ধ সমান।
২। ত্রিভূজের সর্বসমতা উপপাদ্য অর্থাৎ একটি ত্রিভূজের তিনটি উপাত্ত অপর একটি ত্রিভূজের তিনটি উপাত্তের সমান হলে ত্রিভূজদ্বয় সর্বসম হয়।
৩। ত্রিভূজের একটি কোণ সমকোণ হলে ত্রিভূজটি সমকোণী ত্রিভূজ।
৪। রৈখিক যুগল কোণ দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি।
৫। দুইটি রেখাংশ পরস্পর লম্ব হয় যখন তাদের ছেদ বিন্দুতে সমকোণ বা ৯০ ডিগ্রি কোণ থাকে।
এই সকল বিষয় জানা থাকলে উপপাদ্যটি আত্ত্বস্থ করা সহজ হয় এবং ভুলে যাওয়ার চান্স কমে যায়। তারপরেও একটি বিষয় মনে রাখতে হবে, গণিত সর্বদা অনূশীলন করার একটি বিষয়। যে যত বেশি অনুশীলনের মধ্যে থাকবে তার গণিত বিষয়ের উপর দক্ষতা ও পারদর্শীতা অনেক বেশি মজবুত থাকবে।
S এর ঘূর্ণন কোণ কতো ডিগ্রি?
১৮০ ডিগ্রি। যেহেতু ১৮০ ডিগ্রি ঘূর্ণনের পর এটি নিজের অবিকল রূপ ফিরে পায় তাই।
M er ghurnon protisomota nai kno… 180 degree ashe to sir
M কে ১৮০ ডিগ্রি ঘোরালে M তার নিজের চেহারায় ফিরে আসে না। বরং এটি w এর মতো দেখায় যা মোটেও তার পূর্বের অবিকল চেহারা নয়। তাই M এর ঘূর্ণন প্রতিসমতা নেই। সেই সকল সেপ বা অক্ষর এর ঘূর্ণন প্রতিসমতা আছে যাদেরকে ১৮০ ডিগ্রি পর্যন্ত ঘোরালে কমপক্ষে একবার তার অবিকল চেহারা ফিরে পায়।
আর এই ওয়েবসাইটে যুক্ত হতে গেলে কি কোন পয়সা লাগে?
না। কোনো পয়সা লাগে না। মন্তব্য করার জন্য ধন্যবাদ।
স্যার, সুষম ষড়ভুজের জন্য ঘূর্ণন কোণের মান কীভাবে নির্ণয় করব?
360/6=60 degree
সুষম ষড়ভূজের ঘূর্ণন কোণের মান ৬০ ডিগ্রী।