উপপাদ্য প্রমাণ-সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি। ৯ম-১০ম উচ্চতর গণিত

উপপাদ্য প্রমাণ-সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি।

প্রমাণ কর যে, যেকোনো ত্রিভূজের সূক্ষ্মকোণের বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি অপেক্ষা দুই বাহুর যেকোনো একটি ও তার উপর অপরটির লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ পরিমান কম।

বিষয়বস্তু: জ্যামিতি (৯ম-১০ম উচ্চতর গণিত)

---

এই প্রমাণটি বুঝতে হলে যেসকল পূর্বজ্ঞান থাকা প্রয়োজন:

• সূক্ষ্মকোণ ও সমকোণ
• সমকোণী ত্রিভূজ
• পিথাগোরাসের উপপাদ্য
• লম্ব অভিক্ষেপ

---

প্রমাণ কর যে,

যেকোনো ত্রিভূজের সূক্ষ্মকোণের বিপরীত বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি অপেক্ষা ঐ দুই বাহুর যেকোনো একটি ও তার উপর অপরটির  লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ পরিমান কম।

সমাধান

বিশেষ নির্বচন: মনে করি ABC ত্রিভূজের সূক্ষকোণ AB সূক্ষকোণের বিপরীত বাহু এবং BC ও AC অপর দুই বাহু। BC বাহুর উপর (চিত্র-১) এবং BC বাহুর বর্ধিতাংশের উপর (চিত্র-২) AD লম্ব। তাহলে উভয় চিত্রের ক্ষেত্রে BC বাহুর উপর AC বাহুর লম্ব অভিক্ষেপ CD । প্রমাণ করতে হবে যে,

প্রমাণ:

চিত্র-১ এর ক্ষেত্রে,

ABD সমকোণী ত্রিভূজের  সমকোণ। সুতরাং পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

বা,

বা,

বা,

[যেহেতু ACD সমকোণী ত্রিভূজের  সমকোণ]

আবার,

চিত্র-২ এর ক্ষেত্রে,

ABD সমকোণী ত্রিভূজের  সমকোণ। সুতরাং পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

বা,

বা,

বা,

[যেহেতু ACD সমকোণী ত্রিভূজের  সমকোণ]

(প্রমাণিত)