Learn Mathematics Anytime
এক নজরে স্বাভাবিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ
বিষয়বস্তু: সংখ্যা (৬ষ্ঠ শ্রেণি গণিত)
ভূমিকা
অঙ্ক, অঙ্কপাতন, সংখ্যার স্বকীয় মান ও স্থানীয় মান, আন্তর্জাতিক পদ্ধতিতে সংখ্যা লিখন, মৌলিক ও যৌগিক সংখ্যা, সহমৌলিক সংখ্যা, বিভাজ্যতা যাচাই, সাধারন ভগ্নাংশ ও প্রকারভেদ, ভগ্নাংশের তুলনা, সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ, ভগ্নাংশের গুণ ও ভাগ, স্বাভাবিক ভগ্নাংশের গসাগু ও লসাগু, সাধারন ভগ্নাংশের গসাগু ও লসাগু, দশমিক ভগ্নাংশ ও দশমিক ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগ ইত্যাদি বিষয় নিয়ে এখানে আলোচনা করা হয়েছে।
অঙ্ক
সংখ্যা প্রকাশ করার জন্য পাটিগণিতে দশটি প্রতীক ব্যবহার করা হয়।
এ প্রতীকগুলো হলো ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ০। এই প্রতীকগুলোকেই অঙ্ক বলা হয়।
উল্লেখিত প্রথম নয়টি প্রতীককে স্বার্থক অঙ্ক এবং শেষেরটিকে শূন্য বলা হয়। এই দশটি অঙ্ককে আবার সংখ্যাও বলা হয়। ১ থেকে ৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো স্বাভাবিক সংখ্যা।
অঙ্কপাতন
দুই বা ততোধিক অঙ্ক পাশাপাশি বসিয়ে ৯ অপেক্ষা বড় সংখ্যা লেখা হয়। কোনো সংখ্যা অঙ্ক দ্বারা লেখাকে অঙ্কপাতন বলা হয়। যেমন, ৪৫০ একটি সংখ্যা যা ৪, ৫ ও ০ অঙ্কগুলোকে পাশাপাশি বসিয়ে গঠন করা করা হয়েছে।
স্বকীয় মান ও স্থানীয় মান
দুই বা ততোধিক অঙ্ক পাশাপাশি বসিয়ে একটি সংখ্যা লেখা হলে সংখ্যাটির সর্বডানের অঙ্কটি তার স্বকীয় মান প্রকাশ করে। এর বামে অবস্থিত দ্বিতীয় অঙ্কটি এর স্বকীয় মানের দশগুণ এবং তৃতীয় অঙ্কটি স্বকীয় মানের শতগুণ।
অর্থাৎ কোনো অঙ্ক এক এক স্থান করে বামদিকে সরে গেলে তার মান উত্তরোত্তর দশগুণ করে বৃদ্ধি পায়। তাহলে দেখা যাচ্ছে যে, অঙ্কগুলোর মান তার অবস্থানের উপর নির্ভর করে। সংখ্যায় ব্যবহৃত কোনো অঙ্ক যে সংখ্যা প্রকাশ করে তাকে ঐ অঙ্কের স্থানীয় মান বলা হয়।
যেমন,
৫৫৫৫৫ সংখ্যাটির সর্বডানে অবস্থিত অঙ্ক ৫ এর স্বকীয় মান ৫ (পাঁচ)।
ডানদিক থেকে দ্বিতীয় অঙ্ক ৫ এর স্বকীয় মান ৫ কিন্তু এর স্থানীয় মান ৫০ । অর্থাৎ দ্বিতীয় অঙ্কটির স্থানীয় মান এর স্বকীয় মানের দশগুণ।
ডানদিক থেকে তৃতীয় অঙ্ক ৫ এর স্বকীয় মান ৫ কিন্তু এর স্থানীয় মান ৫০০ । অর্থাৎ তৃতীয় অঙ্কটির স্থানীয় মান এর স্বকীয় মানের শতগুণ।
আন্তর্জাতিক পদ্ধতিতে সংখ্যা লেখা
আন্তর্জাতিক পদ্ধতিতে সংখ্যা লেখার ক্ষেত্রে একক, দশক ও শতক এর ঘরের অঙ্কগুলো আমাদের দেশীয় রীতির অনুরূপ। কিন্তু শতকের ঘরের বামে অনুর্ধ্ব তিনটি ঘর হাজারের জন্য ব্যবহার করা হয়। হাজারের তিনটি ঘরের বামে অনুর্ধ্ব তিনটি ঘর ব্যবহার করা হয় মিলিয়নের জন্য। মিলিয়নের তিনটি ঘরের বামে বিলিয়নের ঘর।
অঙ্কে : ১৩,২৪৩, ৩৩৩,৫৪৫
কথায়: তের বিলিয়ন দুইশ তেতাল্লিশ মিলিয়ন তিনশ তেত্রিশ হাজার পাঁচশ পয়তাল্লিশ
আন্তর্জাতিক পদ্ধতিতে সংখ্যা লেখার ক্ষেত্রে ডানদিক থেকে তিনঘর পরপর কমা ( , ) ব্যবহার করা হয়। এতে সংখ্যাটিকে সহজে পড়া যায়।
দেশীয় ও আন্তর্জাতিক গণনা রীতির পারস্পরিক সম্পর্ক বুঝতে হলে উদাহরণটি লক্ষ্য করা যেতে পারে:
উল্লেখিত ১৩২৪৩৩৩৩৫৪৫ সংখ্যাটিকে দেশীয় রীতিতে কমা (,) ব্যবহার করে লিখলে সংখ্যাটি হবে ১,৩২৪,৩৩,৩৩,৫৪৫। সংখ্যাটি পড়তে হবে ‘এক হাজার তিনশ চব্বিশ কোটি তেত্রিশ লক্ষ তেত্রিশ হাজার পাঁচশ পঁয়তাল্লিশ’।
মৌলিক সংখ্যা
যে সংখ্যার গুণনীয়ক কেবল ১ এবং ঐ সংখ্যাটি তাকে মৌলিক সংখ্যা বলা হয়।
যেমন, ২, ৩, ৫ ইত্যাদি।
কারণ
২ = ১ 
২ অর্থাৎ ২ এর গুণনীয়ক ১, ২
৩ = ১ ৩ অর্থাৎ ৩ এর গুণনীয়ক ১, ৩
৫ = ১ ৫ অর্থাৎ ৫ এর গুণনীয়ক ১, ৫
যৌগিক সংখ্যা
যে সংখ্যার গুণনীয়ক ১ এবং ঐ সংখ্যাটি ছাড়াও আরো এক বা একাধিক গুণনীয়ক রয়েছে তাকে যৌগিক সংখ্যা বলা হয়।
যেমন, ৪, ৬, ৮ ইত্যাদি।
কারণ
৪ = ১ ৪ = ২ ২ অর্থাৎ ৪ এর গুণনীয়ক ১, ২, ৪
৬ = ১ ৬ = ২ ৩ অর্থাৎ ৬ এর গুণনীয়ক ১, ২, ৩, ৬
সহমৌলিক সংখ্যা
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধুমাত্র ১ হলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।
৭ = ১ ৭
১২ = ১ ১২ = ২ ৬ = ৩ ৪
৭ ও ১২ এর একমাত্র সাধারণ গুণনীয়ক হলো ১। তাই সংখ্যা দু’টি পরস্পর সহমৌলিক।
২ দ্বারা বিভাজ্যতা
কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি ০ (শূন্য) অথবা জোড় সংখ্যা হলে সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য।
যেমন, ৪০, ৫১৬, ১৯৪৮ ইত্যাদি।
প্রথম সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্কটি ০ (শূন্য) এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যা দু’টির একক স্থানীয় অঙ্ক জোড় সংখ্যা। তাই সংখ্যাগুলো ২ দ্বারা বিভাজ্য।
৩ দ্বারা বিভাজ্যতা
কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে, ঐ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
যেমন, ৪০২, ৫১৬ ইত্যাদি।
৪০২ সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল ৬ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ৪০২ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
৫১৬ সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল ১২ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ৫১৬ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
৪ দ্বারা বিভাজ্যতা
(ক) কোনো সংখ্যার একক ও দশক উভয় স্থানে ০ (শূন্য) থাকলে সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
যেমন, ৫৪০০, ৭৫০০ ইত্যাদি।
(খ) কোনো সংখ্যার একক ও দশক অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হলে ঐ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
যেমন, ৪৫১২, ৫০১৬ ইত্যাদি।
৪৫১২ সংখ্যাটির একক ও দশক স্থানীয় অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা ১২ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য সুতরাং ৪৫১২ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
৫০১৬ সংখ্যাটির একক ও দশক স্থানীয় অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা ১৬ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য সুতরাং ৫০১৬ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
৫ দ্বারা বিভাজ্যতা
কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি ০ (শূন্য) অথবা ৫ হলে, সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য।
যেমন, ৪০, ৩১৫ ইত্যাদি।
প্রথম সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্কটি ০ (শূন্য) এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্কটি ৫। তাই সংখ্যাগুলো ৫ দ্বারা বিভাজ্য।
৬ দ্বারা বিভাজ্যতা
কোনো সংখ্যা ২ এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে ঐ সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
যেমন, ৪০২০, ৫১০৬ ইত্যাদি।
৪০২০ সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য কারণ এর একক স্থানীয় অঙ্কটি ০ (শূন্য)। সংখ্যাটি ৩ দ্বারাও বিভাজ্য কারণ সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল ৬ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ৪০২০ সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
৫১০৬ সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য কারণ এর একক স্থানীয় অঙ্কটি জোড় সংখ্যা। সংখ্যাটি ৩ দ্বারাও বিভাজ্য কারণ সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল ১২ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ৫১০৬ সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
৯ দ্বারা বিভাজ্যতা
কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দ্বারা বিভাজ্য হলে, ঐ সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
যেমন, ৪০৩২, ৮৪৬০ ইত্যাদি।
৪০৩২ এর অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ৪০৩২ সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
৮৪৬০ এর অঙ্কগুলোর যোগফল ১৮ যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ৮৪৬০ সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
গ.সা.গু
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় গুণনীয়ককে ঐ সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) বলা হয়।
যেমন,
১৪ = ১ ১৪ = ২ ৭ ,
২৮ = ১ ২৮ = ২ ১৪ = ৪ ৭
১৪ ও ২৮ এর সবচেয়ে বড় সাধারণ গুণনীয়ক হলো ১৪। তাই প্রদত্ত সংখ্যা দু’টির গ.সা.গু ১৪।
আবার,
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কগুলোর গুনফল ঐ সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু।
যেমন,
১৪ = ২ ৭
২৮ = ২ ২ ৭
১৪ ও ২৮ এর সাধারণ গুণনীয়কগুলোর গুণফল হলো ২ ৭ = ১৪। তাই প্রদত্ত সংখ্যা দু’টির গ.সা.গু ১৪।
ল.সা.গু
দুই বা ততোধিক সংখ্যার ক্ষুদ্রতম সাধারণ গুণিতককে ঐ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক) বলা হয়।
যেমন,
২ এর গুণিতক হলো ২, ৪, ৬, ৮, ১০, (১২), ১৪, ১৬, ১৮, ২০, ২২, (২৪), ২৬, ২৮ ইত্যাদি
৪ এর গুণিতক হলো ৪, ৮, (১২), ১৬, ২০, (২৪), ২৮, ৩২ ইত্যাদি
৬ এর গুণিতক হলো ৬, (১২), ১৮, (২৪), ৩০, ৩৬ ইত্যাদি
২, ৪ ও ৬ এর ক্ষুদ্রতম সাধারণ গুণিতক হলো ১২। তাই প্রদত্ত সংখ্যা দু’টির ল.সা.গু ১২।
গ.সা.গু ও ল.সা.গু এর মধ্যে সম্পর্ক
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু
সাধারণ ভগ্নাংশ
ভাগের অংশ হলো ভগ্নাংশ। কোনো বস্তুকে নির্দিষ্ট সংখ্যক ভাগে ভাগ করে তাকে হর দ্বারা এবং ঐ নির্দিষ্ট অংশ থেকে গৃহীত অংশকে লব দ্বারা প্রকাশ করে যে গাণিতিক রূপদান করা হয় তাকে সাধারণ ভগ্নাংশ বলা হয়।
সাধারণ ভগ্নাংশের প্রকারভেদ
সাধারণ ভগ্নাংশ ৩ প্রকার। যথা-প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ, মিশ্র ভগ্নাংশ।
প্রকৃত ভগ্নাংশ
প্রকৃত ভগ্নাংশের লব হর থেকে ছোট।
যেমন,
অপ্রকৃত ভগ্নাংশ
অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব হর থেকে বড়।
যেমন,
মিশ্র ভগ্নাংশ
ম্রিশ্র ভগ্নাংশে একটি পূর্ণ অংশ ও একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ মিশ্রিত থাকে।
যেমন,
সমতুল ভগ্নাংশ
কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরকে শূন্য ছাড়া অন্য যেকোনো সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে প্রদত্ত ভগ্নাংশের সমতুল ভগ্নাংশ পাওয়া যায়।
যেমন,
ভগ্নাংশের তুলনা
(ক) দুইটি ভগ্নাংশের হর একই হলে যে ভগ্নাংশের লব বড় সেটি-ই বড় ভগ্নাংশ।
যেমন,
(খ) দুইটি ভগ্নাংশের লব একই হলে যে ভগ্নাংশের হর বড় সেটি-ই ছোট ভগ্নাংশ।
যেমন,
সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগ
(ক) সমহরবিশিষ্ট কয়েকটি ভগ্নাংশের যোগফল একটি ভগ্নাংশ যার হর হলো প্রদত্ত ভগ্নাংশের হর এবং লব হলো প্রদত্ত ভগ্নাংশের লবগুলোর যোগফল।
(খ) সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশের বিয়োগফল একটি ভগ্নাংশ যার হর হলো প্রদত্ত ভগ্নাংশের হর এবং লব হলো প্রদত্ত ভগ্নাংশের লবগুলোর বিয়োগফল।
ভগ্নাংশের গুণ
(ক) ভগ্নাংশকে পূর্ণ সংখ্যা দ্বারা গুণ
(খ) ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ
ভগ্নাংশের ভাগ
কোনো ভগ্নাংশকে অপর একটি ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ করতে হলে প্রথম ভগ্নাংশটিকে দ্বিতীয়টির বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে হয়।
যেমন,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু
ভগ্নাংশের ল.সা.গু
ভগ্নাংশের সরলীকরণ
ভগ্নাংশের সরলীকরণের জন্য BODMAS শব্দটি মনে রাখা যেতে পারে।
সরলীকরণে যে কাজগুলো ক্রম অনুসারে করা হয় তার ইংরেজী নামের প্রথম অক্ষরগুলো দিয়ে উল্লেখিত শব্দটি গঠিত হয়েছে।
Brackets (বন্ধনী)
Of (এর)
Division (ভাগ)
Multiplication (গুণ)
Addition (যোগ)
Subtraction (বিয়োগ)
কাজগুলো ক্রম অনুসারে
( ), { }, [ ], এর, 
, , 
, 
উল্লেখ্য যে, বন্ধনীর আগে কোনো চিহ্ন না থাকলে সেখানে ‘এর’ আছে ধরে নিতে হবে।
‘এর’ অর্থ
দশমিক ভগ্নাংশ
দশমিক চিহ্নের সাহায্যে দ্বারা প্রকাশিত ভগ্নাংশকে দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়।
যেমন, ৭.২৫, ০.৭৫ ইত্যাদি
দশমিক ভগ্নাংশের যোগ
দশমিক ভগ্নাংশের যোগের ক্ষেত্রে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে নিচে নিচে এমনভাবে সাজাতে হবে যেন এদের দশমিক বিন্দুগুলোর অবস্থান বরাবর নিচে নিচে পড়ে।
যেমন,
দশমিক ভগ্নাংশের বিয়োগ
দশমিক ভগ্নাংশের বিয়োগের ক্ষেত্রে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে নিচে নিচে এমনভাবে সাজাতে হবে যেন এদের দশমিক বিন্দুগুলোর অবস্থান বরাবর নিচে নিচে পড়ে।
যেমন,
Tnx