পরিসংখ্যান-এক নজরে। ৯ম-১০ম শ্রেণি গণিত

পরিসংখ্যান-এক নজরে

বিষয়বস্তু: পরিসংখ্যান (৯ম-১০ম শ্রেণি গণিত)

আলোচ্য বিষয়সমূহ:

পরিসংখ্যান কী, উপাত্তের উপস্থাপন, গণসংখ্যা, গণসংখ্যা নিবেশন সারণি, পরিসর নির্ণয়, শ্রেণি সংখ্যা নির্ণয়, ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি, বিচ্ছিন্ন ও অবিচ্ছিন্ন চলক, উপাত্তের লেখচিত্র, আয়তলেখ, গণসংখ্যা বহুভূজ, অজিভ রেখা, পাইচিত্র, কেন্দ্রীয় প্রবণতা, গড়, মধ্যক ও প্রচুরক।

---

পরিসংখ্যান (Statistics)

পরিসংখ্যান এক ধরনের গাণিতিক বিজ্ঞান যা মূলত: উপাত্ত সংগ্রহ, বিশ্লেষণ, ব্যাখ্যা এবং উপাত্ত সহজে পরিবেশন নিয়ে কাজ করে। উপাত্ত বিশ্লেষণ করে তা থেকে তথ্যসমৃদ্ধ সিদ্ধান্ত গ্রহণে পরিসংখ্যানের ভূমিকা অপরিহার্য। বিভিন্ন ধরনের গবেষনায় পরিসংখ্যান ব্যবহার করা হয়। গড়, মধ্যক, প্রচুরক, আয়তলেখ, গণসংখ্যা বহুভূজ, অজিভরেখা পরিসংখ্যানের বিষয়বস্তু।

উপাত্তের উপস্থাপন

গুণবাচক নয় এমন সংখ্যাসূচক তথ্যাবলি পরিসংখ্যানের উপাত্ত। অনুসন্ধানাধীন উপাত্ত হলো পরিসংখ্যানের কাঁচামাল। অনুসন্ধানাধীন উপাত্ত সমূহ সাধারণত অবিন্যস্তভাবে পাওয়া যায় যা থেকে সরাসরি প্রয়োজনীয় সিদ্ধান্তে উপনীত হওয়া যায় না। তাই কোনো সিদ্ধান্ত গ্রহণের প্রয়োজনে উপাত্তগুলোকে বিন্যস্ত ও সারণিভূক্ত করতে হয়। এই সারণিকে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি বলা হয়। গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি করতে প্রথমে উপাত্তগুলোর পরিসর নির্ণয় করতে হয়। এরপর উপাত্তগুলোর শ্রেণি ব্যবধান ও শ্রেণি সংখ্যা নির্ধারণ করে ট্যালি চিহ্ন ব্যবহারের মাধ্যমে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি করতে হয়।

গণসংখ্যা (Frequency)

কোনো পরীক্ষণ বা গবেষনায় ব্যবহৃত উপাত্তসমূহের গণসংখ্যা বলতে কোনো উপাত্তের মান সেখানে কত বার আছে তাকে বুঝানো হয়। যেমন: কোনো একটি গণিত পরীক্ষায় 7 জন শিক্ষার্থী 85 নম্বর পেল। তাহলে বলা যায়, 7 হলো প্রাপ্ত নম্বর 85 এর গণসংখ্যা । গণসংখ্যাকে সাধারনত f দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

গণসংখ্যা নিবেশন সারণি

20 জন লোকের ওজন (কেজিতে) নিম্নরূপ:

60, 50, 62, 52, 45, 48, 53, 54, 52, 48, 45, 53, 52, 47, 58, 50, 48, 46, 62, 65

পরিসর নির্ণয়:

উপাত্তের সবচেয়ে ছোট মান = 45 এবং সবচেয়ে বড় মান = 65

   পরিসর = (সর্বোচ্চ মান – সর্বনিম্ন মান) + 1

= (65 – 45) + 1 = 20 + 1 = 21

শ্রেণি সংখ্যা নির্ণয়:

[ ফলাফল ভগ্নাংশ হলে পরবর্তী পূর্ণসংখ্যায় রূপান্তরিত মানটি হবে শ্রেণিসংখ্যা ]

শ্রেণি ব্যবধান 5 ধরে ও উল্লেখিত পরিসর 21 ব্যবহার করে,

শ্রেণি সংখ্যা = অর্থাৎ, 5

উপাত্ত সমুহের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি

শ্রেণি ব্যাপ্তি	ট্যালি	গণসংখ্যা
45 – 49	||||  ||	7
50 – 54	|||| |||	8
55 – 59	|	1
60 – 64	|||	3
65 – 69	|	1
		n = 20

উল্লেখ্য, 5 (পাঁচ)-এর বহুল ব্যবহৃত ট্যালি চিহ্ন

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি (যোজিত গণসংখ্যা)

উপাত্তসমূহের গণসংখ্যাকে পর্যায়ক্রমে যোগ করে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা বা যোজিত গণসংখ্যা পাওয়া যায়। নিচে একটি ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি দেওয়া হলো।

শ্রেণি ব্যাপ্তি	গণসংখ্যা	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
45 – 49	7	7
50 – 54	8	8 + 7 = 15
55 – 59	1	1 + 15 = 16
60 – 64	3	3 + 16 = 19
65 – 69	1	1 + 19 = 20

বিচ্ছিন্ন ও অবিচ্ছিন্ন চলক

পরিসংখ্যানে চলক দুই ধরনের। যথা:

১। বিচ্ছিন্ন চলক

২। অবিচ্ছিন্ন চলক

বিচ্ছিন্ন চলক (Discrete Variable)

যে চলকের মান গণনা (count) করে নির্ধারন করা যায় অর্থাৎ যে চলকের মান শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা (অখন্ড সংখ্যা) তাকে বিচ্ছিন্ন চলক বলে।

উদাহরণ:

উপস্থিত শিক্ষার্থী সংখ্যা ।

কোনো একজন নির্দিষ্ট প্রার্থীকে ভোট প্রদানকারী লোকের সংখ্যা ।

কোনো এক ব্যক্তির থেরাপি সেসনে উপস্থিতির সংখ্যা ।

অবিচ্ছিন্ন চলক (Continuous Variable)

যে চলকের মান পরিমাপ (measure) করে নির্ধারন করতে হয় অর্থাৎ যে চলকের মান যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে তাকে অবিচ্ছিন্ন চলক বলে। এটি এমন একটি চলক যা দু’টি সংখ্যার মধ্যবর্তি যেকোনো মান (খন্ড বা অখন্ড) গ্রহণ করতে পারে।

উদাহরণ:

কোনো শ্রেণির শিক্ষার্থীদের উচ্চতা।

জানুয়ারী মাসের 31 দিনের তাপমাত্রা।

টি 20 ম্যাচে উপস্থিত ক্রিকেটারদের ওজন।

উপাত্তের লেখচিত্র

বিষয়বস্তুকে সহজবোধ্য ও চিত্তাকর্ষক করার জন্য সারণিভূক্ত উপাত্তসমূহকে লেখচিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপন করা হয়। এক্ষেত্রে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি ও ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি ব্যবহার করে আয়তলেখ, গণসংখ্যা বহুভূজ, পাইচিত্র ও অজিভ রেখা আঁকা হয়।

আয়তলেখ (Histogram)

ছক কাগজের x-অক্ষ বরাবর শ্রেণিসীমা এবং y-অক্ষ বরাবর গণসংখ্যা নিয়ে আয়তলেখ আঁকা হয়। আয়তের ভূমি হয় শ্রেণিসীমা এবং উচ্চতা হয় গণসংখ্যা। এখানে আয়তলেখ অঙ্কনের জন্য শ্রেণিসীমা অবিচ্ছিন্ন করে নেয়া হল।

উদাহরণ:

শ্রেণি ব্যাপ্তি	অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমা	গণসংখ্যা
45 – 49	44.5 – 49.5	4
50 – 54	49.5 – 54.5	8
55 – 59	54.5 – 59.5	10
60 – 64	59.5 – 64.5	20
65 – 69	64.5 – 69.5	12
70 – 74	69.5 – 74.5	6

ছক কাগজের প্রতি ঘরকে এক একক ধরে x-অক্ষ বরাবর শ্রেণিসীমা এবং y-অক্ষ বরাবর গণসংখ্যা নিয়ে আয়তলেখ আঁকা হয়েছে। শ্রেণিসীমা 45.5 থেকে আরম্ভ হয়েছে। মূলবিন্দু থেকে 45.5 পর্যন্ত পূর্ববর্তী সংখ্যাগুলো আছে বোঝাতে ভাঙ্গা চিহ্ন দেওয়া হয়েছে।

গণসংখ্যা বহুভূজ (Frequency Polygon)

গণসংখ্যা বহুভূজ অঙ্কনের জন্য শ্রেণি মধ্যমান নির্ণয় করে নিতে হয়। ছক কাগজের x-অক্ষ বরাবর শ্রেণি মধ্যমান এবং y-অক্ষ বরাবর গণসংখ্যা নিয়ে গণসংখ্যা বহুভূজ আঁকা হয়।

উদাহরণ:

শ্রেণি ব্যাপ্তি	শ্রেণি মধ্যমান	গণসংখ্যা
45 – 49	47	4
50 – 54	52	8
55 – 59	57	10
60 – 64	62	20
65 – 69	67	12
70 – 74	72	6

ছক কাগজের প্রতি ঘরকে এক একক ধরে x-অক্ষ বরাবর শ্রেণি মধ্যমান এবং y-অক্ষ বরাবর গণসংখ্যা নিয়ে শ্রেণি মধ্যমান বরাবর গণসংখ্যা অনুযায়ী বিন্দুগুলো চিহ্নিত করা হয়েছে। এরপর রেখাংশ দ্বারা বিন্দুগুলো যোগ করে গণসংখ্যা বহুভূজ আঁকা হয়েছে। গণসংখ্যা বহুভূজ সুন্দর দেখানোর জন্য প্রথম ও শেষ শ্রেণির প্রান্ত বিন্দুদ্বয়কে x অক্ষের সাথে সংযুক্ত করা হয়েছে। মূলবিন্দু থেকে 47 পর্যন্ত পূর্ববর্তী সংখ্যাগুলো আছে বোঝাতে ভাঙ্গা চিহ্ন দেওয়া হয়েছে।

অজিভ রেখা (Ogive Graph)

অজিভ রেখা অঙ্কনের জন্য ক্রমযোজিত গণসংখ্যা নির্ণয় করে নিতে হয়। ছক কাগজের x-অক্ষ বরাবর শ্রেণি উচ্চসীমা এবং y-অক্ষ বরাবর ক্রমযোজিত গণসংখ্যা নিয়ে অজিভ রেখা বা ক্রমযোজিত গণসংখ্যা লেখ আঁকা হয়।

উদাহরণ:

শ্রেণি ব্যাপ্তি	গণসংখ্যা	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
45 – 49	4	4
50 – 54	8	12
55 – 59	10	22
60 – 64	20	42
65 – 69	12	54
70 – 74	6	60

ছক কাগজের প্রতি ঘরকে এক একক ধরে x-অক্ষ বরাবর শ্রেণি উচ্চসীমা এবং প্রতি ঘরকে দুই একক ধরে y-অক্ষ বরাবর ক্রমযোজিত গণসংখ্যা নিয়ে শ্রেণি উচ্চসীমা বরাবর বিন্দুগুলো চিহ্নিত করা হয়েছে। এরপর সাবলীলভাবে (Freehand) বিন্দুগুলো যোগ করে অজিভ রেখা আঁকা হয়েছে। মূলবিন্দু থেকে 49 পর্যন্ত পূর্ববর্তী সংখ্যাগুলো আছে বোঝাতে ভাঙ্গা চিহ্ন দেওয়া হয়েছে।

পাইচিত্র (Pie Charts)

অনেক সময় কোনো পরিসংখ্যানকে কয়েকটি শ্রেণিতে ভাগ করা যায়। এসকল ভাগকে একটি বৃত্তের অভ্যন্তরে বিভিন্ন অংশে প্রকাশ করা যায়। এই ধরনের প্রকাশকে পাইচিত্র বৃত্ত লেখ বলে। কোনো পরিসংখ্যান বৃত্তের কেন্দ্রে সৃষ্ট কোণের অংশ হিসেবে উপস্থাপিত হলে পাইচিত্র গঠিত হয়।

উদাহরণ:

পাইচিত্রে উপস্থাপনের জন্য কোনো একটি ক্রিকেট ম্যাচে বাংলাদেশ ক্রিকেট দলের সংগৃহীত রান নিচের সারণিতে দেওয়া হল।

রানের প্রকার	1 করে	2 করে	3 করে	4 করে	6 করে	অতিরিক্ত রান	মোট
সংগৃহীত রান	66	50	36	48	30	10	240

66 রানের জন্য কোণ =

50 রানের জন্য কোণ =

36 রানের জন্য কোণ =

48 রানের জন্য কোণ =

30 রানের জন্য কোণ =

10 রানের জন্য কোণ =

চাঁদা ব্যবহার করে পাইচিত্রটি আঁকা হয়েছে।

কেন্দ্রীয় প্রবণতা (Central Tendency)

অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহকে মানের ক্রমানুসারে সাজালে উপাত্ত সমূহ মাঝামাঝি কোনো মান (কেন্দ্রীয় মান)-এর কাছাকাছি পুঞ্জিভূত হয়। আবার  এগুলোকে গণসংখ্যা সারণিতে উপস্থাপন করলে মাঝামাঝি একটি শ্রেণিতে গণসংখ্যার প্রাচুর্য লক্ষ্ করা যায়। উপাত্তসমূহের কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জিভূত হওয়ার এই প্রবণতাকে কেন্দ্রীয় প্রবণতা বলে।

ব্যাখ্যা

কেন্দ্রীয় মান হল একটি বিশেষ সংখ্যা বা একটি সংক্ষিপ্ত পরিমাপ যা দ্বারা একটি পুরো ডাটা সেটে কী ঘটছে তার একটি সামগ্রিক চিত্র পাওয়া যায়। যেমন: বাংলাদেশের মানুষের গড় আয়ু 71 বছর। কিন্তু কিছু মানুষ আছে যারা 60 বছর বয়সে বা তার আগেই মারা যায় এবং কিছু মানুষ আছে যারা 80 বছর বা তার চাইতেও বেশি বছর বাচেঁ। বাংলাদেশে 71 বছর হল এমন একটি বয়স যার কিছু কম বা কিছু বেশি বয়স পর্যন্তই বেশির ভাগ মানুষ বাচেঁ। অর্থাৎ, 71 এমন একটি মান যার কাছাকাছি সংখ্যাগুলো (বয়সগুলো) এই মানটির দিকে পুঞ্জিভুত। এই সংখ্যাটি-ই হল কেন্দ্রীয় মান এবং বেশিরভাগ সংখ্যার এই মানটির দিকে পুঞ্জিভূত হওয়ার প্রবণতা-ই হল কেন্দ্রীয় প্রবণতা।

কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ

সাধারণভাবে কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ হল:

১। গড় বা গাণিতিক গড়

২। মধ্যক

৩। প্রচুরক

গড় বা গাণিতিক গড় (Mean)

গড় হল কোন একটি সংখ্যা তালিকার সকল মানকে প্রতিনিধিত্বকারী একটি একক মান। যেমন: বাংলাদেশের মানুষের আয়ুর গড় 71 বছর।

গাণিতিক গড় নির্ণয়ের পদ্ধতি: কোনো সংখ্যা তালিকার সংখ্যাগুলোর সমষ্টিকে উপাত্ত সংখ্যা দ্বারা ভাগ করে গড় বা গাণিতিক গড় নির্ণয় করা হয়। যেমন:

কোনো একটি বাসায় 5 জন লোক থাকে যাদের উচ্চতা (ফুট) 4, 4.5, 3, 4, 5.5 ।

সুতরাং, তাদের উচ্চতার গড়

তবে বেশি সংখ্যক উপাত্তের গড় নির্ণয় করার জন্য এই পদ্ধতিটি সুবিধাজনক নয়। এক্ষেত্রে উপাত্তসমূহকে শ্রেণি বিন্যাসের মাধ্যমে সারণিবদ্ধ করে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় করা হয়।

মধ্যক (Median)

উপাত্তসমূহকে মানের ক্রমানুসারে সাজালে মাঝখানে যে মানটি পাওয়া যায় তা-ই হল মধ্যক। মাঝে একাধিক মান থাকলে তাদের গড় মান হল মধ্যক। উল্লেখ্য, মধ্যকের বামপাশে থাকে অপেক্ষাকৃত ছোট সংখ্যাসমূহ আর ডানপাশে থাকে অপেক্ষাকৃত বড় সংখ্যাগুলো। দুই ভাগেই সমান সংখ্যক উপাত্ত থাকে। যেমন:

34, 45, 53, 64, 75, 75, 85 এর মধ্যক 64 (ক্রমানুসারে সাজানো সংখ্যা তালিকার মাঝের সংখ্যা)।

আবার 14, 25, 33, 45, 65, 65, 85, 85 এর মধ্যক 55  (ক্রমানুসারে সাজানো সংখ্যা তালিকার মাঝের দু’টি সংখ্যার গড় মান) ।

এছাড়াও মধ্যক নির্ণয়ের আরো পদ্ধতি রয়েছে। নিচের সূত্রগুলো মধ্যক নির্ণয়ের জন্য ব্যবহৃত হয়:

১। উপাত্ত সংখ্যা বিজোড় হলে,

মধ্যক তম পদ

২। উপাত্ত সংখ্যা জোড় হলে,

৩। মধ্যক

এখানে, n = উপাত্ত সংখ্যা বা মোট গণসংখ্যা, L = মধ্যক শ্রেণির নিম্নসীমা, Fc = মধ্যক শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির যোজিত গণসংখ্যা, fm = মধ্যক শ্রেণির গণসংখ্যা, h = শ্রেণি ব্যবধান।

প্রচুরক (Mode)

কোনো উপাত্তে যে সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশি বার উপস্থাপিত হয় তাকে উক্ত উপাত্তের প্রচুরক বলে। প্রচুরক একাধিকও হতে পারে। কোনো উপাত্তে যদি একটি সংখ্যাও একাধিকবার উপস্থাপিত না হয় তাহলে ঐ উপাত্তের প্রচুরক নেই। যেমন:

34, 45, 53, 64, 75, 75, 85 এর প্রচুরক 75

আবার 14, 25, 33, 45, 65, 65, 85, 85 এর প্রচুরক 65 ও 85

এছাড়াও প্রচুরক নির্ণয়ের আরো পদ্ধতি রয়েছে। সারণিবদ্ধ উপাত্তের প্রচুরক নির্ণয়ের জন্য নিচের সূত্রটি ব্যবহৃত হয়:

প্রচুরক

এখানে, n = উপাত্ত সংখ্যা বা মোট গণসংখ্যা, L = প্রচুরক শ্রেণির নিম্নসীমা, f1 = প্রচুরক শ্রেণির গণসংখ্যা – পূর্ববর্তী শ্রেণির গণসংখ্যা, f2 =প্রচুরক শ্রেণির গণসংখ্যা – পরবর্তী শ্রেণির গণসংখ্যা, h = শ্রেণি ব্যবধান।