Call us: 01722006901 | shaheenofficial247@gmail.com

Login

বীজগণিতীয় অনুপাত ও সমানুপাত

অনুপাত

একই একক বিশিষ্ট সমজাতীয় দুইটি রাশির পরিমাপের একটি অপরটির কত গুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশের মাধ্যমে প্রকাশ করলে উক্ত ভগ্নাংশটিকে রাশি দুইটির অনুপাত বলে।

দুইটি রাশি ab হলে, রাশি দুইটির অনুপাত a : b বা \frac{a}{b}

উল্লেখ্য যে,

১। অনুপাতের রাশিগুলো সমজাতীয় হতে হবে। এখা্নে, ab সমজাতীয় রাশি।

২। অনুপাতের রাশিগুলোর একক একই হতে হবে। এখা্নে, ab এর একক একই।

৩। অনুপাতের ১ম রাশিকে পূর্ব রাশি এবংং ২য় রাশিকে উত্তর রাশি বলে। এখানে, a পূর্ব রাশি এবং b উত্তর রাশি।

উদাহরণ:

ইকরার কলমের সংখ্যা ইশালের কলমের সংখ্যার দ্বিগুণ। তাদের দুইজনের কলমের সংখ্যার অনুপাত হবে 2x : x

সমানুপাত

যে কোনো চারটি রাশির প্রথম দু’টির অনুপাত যদি শেষ দু’টির অনুপাতের সমান হয়, তবে উক্ত চারটি রাশি নিয়ে একটি সমানুপাত গঠিত হয়।

চারটি রাশি a, b, cd হলে, এদের দ্বারা গঠিত সমানুপাত a : b = c : d বা \frac{a}{b} = \frac{c}{d}

উল্লেখ্য যে,

১। অনুপাতের চারটি রাশিই একজাতীয় হওয়ার প্রয়োজন নেই।

২। সমানুপাতের অন্তর্ভূক্ত প্রত্যেক অনুপাতের রাশিগুলো একজাতীয় হতে হবে। এখানে, a : b এর ab সমজাতীয় এবং c : d এর cd সমজাতীয়।

ক্রমিক সমানুপাতী

তিনটি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী বলতে বুঝায় ১ম ও ২য় রাশির অনুপাত ২য় ও ৩য় রাশির অনুপাতের সমান।

তিনটি রাশি a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী বলতে বুঝায় a : b = b : c বা \frac{a}{b} = \frac{b}{c}

উল্লেখ্য যে,

১। a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হবে যদি ও কেবল যদি b^2 = ac হয় ।

২। ক্রমিক সমানুপাতের সবগুলো রাশি একজাতীয় হতে হবে।

৩। ক্রমিক সমানুপাতটির b কে ac এর মধ্যসমানুপাতী বলে।

৪। ক্রমিক সমানুপাতটির c কে ab এর তৃতীয় সমানুপাতী বলে।

অনুপাতের রূপান্তর

অনুপাতের রাশিগুলো ধনাত্মক।

১। \frac{a}{b} = \frac{c}{d} হলে, \frac{b}{a} = \frac{d}{c}  [ ব্যস্তকরণ (invertendo)]

২। \frac{a}{b} = \frac{c}{d} হলে, \frac{a}{c} = \frac{b}{d}  [একান্তরকরণ (alternendo)]

৩। \frac{a}{b} = \frac{c}{d} হলে, \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} [যোজন (componendo)]

৪। \frac{a}{b} = \frac{c}{d} হলে, \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} [বিয়োজন (dividendo)]

৫। \frac{a}{b} = \frac{c}{d} হলে, \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} [যোজন-বিয়োজন (componendo-dividendo)]

৬। \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{g}{h} হলে, প্রত্যেকটি অনুপাত = \frac{a+c+e+g}{b+d+f+h}

ধারাবাহিক অনুপাত

দুইটি অনুপাত যদি a : b এবং b : c আকারের হয়, তাহলে তাদেরকে a : b : c আকারে লেখা যায়। একে ধারাবাহিক অনুপাত বলা হয়। যেকোনো দুই বা ততোধিক অনুপাতকে ধারাবাহিক অনুপাত আকারে প্রকাশ করা যায়।

দুইটি অনুপাতকে ধারাবাহিক অনুপাত আকারে প্রকাশ করতে হলে, ১ম অনুপাতটির উত্তর রাশি, ২য় অনুপাতটির পূর্ব রাশির সমান করতে হবে। অর্থাৎ ঐ দুইটি রাশিকে তাদের ল.সা.গু. এর সমান করতে হবে।

উদাহরণ:

2 : 3 এবং 4 : 3 কে ধারাহিক অনুপাতে প্রকাশ।

১ম অনুপাতের উত্তর রাশি ও ২য় অনুপাতের পূর্ব রাশি হবে 34 এর ল.সা.গু. অর্থাৎ 12

2 : 3 = \frac{2}{3} = \frac{2\times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} = 8 : 12

এবং  4 : 3 = \frac{4}{3} = \frac{4\times 3}{3 \times 3} = \frac{12}{9} = 12 : 9

সুতরাং ধারাবাহিক অনুপাতটি হবে 8 : 12 : 9

সমানুপাতিক ভাগ

কোনো রাশিকে নির্দিষ্ট অনুপাতে ভাগ করাকে সমানুপাতিক ভাগ বলা হয়। যেকোনো রাশিকে যেকোনো নির্দিষ্ট অনুপাতে ভাগ করা যায়।

S কে a : b : c : d অনুপাতে ভাগ করার জন্য S কে মোট a + b + c + d ভাগ করে যথাক্রমে a, b, cd ভাগ নিতে হবে।

সুতরাং

১ম অংশ = S \times \frac{a}{a+b+c+d}

২য় অংশ = S \times \frac{b}{a+b+c+d}

৩য় অংশ = S \times \frac{c}{a+b+c+d}

৪র্থ অংশ = S \times \frac{d}{a+b+c+d}

উদাহরণ:

5800 কে 8 : 12 : 9 অনুপাতে ভাগ করা।

এখানে, 8 + 12 + 9 = 29

১ম অংশ = 5800 \times \frac{8}{29} = 1600

২য় অংশ = 5800 \times \frac{12}{29} = 2400

৩য় অংশ = 5800 \times \frac{9}{29} = 1800

16 responses on "বীজগণিতীয় অনুপাত ও সমানুপাত"

  1. mathbd. com is better than any other website……..

    Thank You for this information….. 🙂🙂

  2. Thank you sir for publishing these

  3. THANK YOU SO MUCH

  4. Sir ssc higher math ar basic kub dorker.apner motho atho sundor kore kew bujathe parbe na.

    • শীঘ্রই দিবো আশা রাখছি। আপনার সুন্দর মন্তব্য আমাকে আরো বেশি উৎসাহী করে তুললো। আপনাকে অনেক ধন্যবাদ।

  5. অনুপাতের রূপান্তর কেন শিখার দরকার।

    • অনুপাত সমানুপাত সংশ্লিষ্ট বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের সময় অনুপাতের রূপান্তর প্রয়োজন হয়। যেমন, নিশ্চয়ই এটা মনে আছে আশা করি যে, অনুপাতের সমাধান (নবম-দশম শ্রেণির গণিত বইয়ের অধ্যায়-১১) করতে গিয়ে আমরা সমীকরণের উভয়পক্ষে যোজন-বিয়োজন করেছি।

  6. আমার অনেক উপকারহল

  7. ভালো আছো

  8. I like it very much

  9. U r great sir..

Leave a Message

Your email address will not be published.

© mathbd.com