Learn Mathematics Anytime

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি প্রয়োগ বেসিক-১। ৯ম-১০ম গণিত

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি প্রয়োগ বেসিক-১

বিষয়বস্তু: বীজগাণিতিক রাশি (৯ম-১০ম গণিত)

এই পোস্টটিতে বীজগাণিতিক সূত্রাবলি প্রয়োগ করে বীজগণিতীয় সমস্যাবলি সমাধান করার প্রক্রিয়া দেখানো হয়েছে। নিচের প্রশ্নাবলির সমাধান করা শিখলে আশা করা যায় এ সংক্রান্ত অপরাপর সমস্যাবলি সমাধান করার যোগ্যতা অর্জিত হবে।

১। $x^2-3=2 \sqrt{2}$ হলে,

(ক) x এর মান নির্ণয় কর।

(খ) $\frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় কর।

(গ) $x+\frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় কর।

(ঘ) $x-\frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় কর।

(ঙ) $x^2+\frac{1}{x^2}$ এর মান নির্ণয় কর।

(চ) $x^2-\frac{1}{x^2}$ এর মান নির্ণয় কর।

(ছ) $x^4+\frac{1}{x^4}$ এর মান নির্ণয় কর।

(জ) $x^4-\frac{1}{x^4}$ এর মান নির্ণয় কর।

১/(ক) এর সমাধান

$x^2-3=2 \sqrt{2}$

বা, $x^2 = 3+2 \sqrt{2}$

বা, $x^2 = 2+2 \sqrt{2}+1$

বা, $x^2 = (\sqrt{2})^2+2.\sqrt{2}.1+1^2$

বা, $x^2 = (\sqrt{2}+1)^2$

বা, $x = \sqrt{2}+1$

১/(খ) এর সমাধান

$x = \sqrt{2}+1$

বা, $\frac{1}{x} = \frac{1}{ \sqrt{2}+1}$

বা, $\frac{1}{x} = \frac{1. (\sqrt{2}-1)}{ (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$

বা, $\frac{1}{x} = \frac{ \sqrt{2}-1}{ (\sqrt{2})^2-1^2}$ [ $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$ সূত্র প্রয়োগ করে]

বা, $\frac{1}{x} = \frac{ \sqrt{2}-1}{2-1}$

বা, $\frac{1}{x} = \sqrt{2}-1$

১/(গ) এর সমাধান

$x = \sqrt{2}+1$

$\frac{1}{x} = \sqrt{2}-1$

এখন,

$x+\frac{1}{x} = \sqrt{2}+1+ \sqrt{2}-1$

$x+\frac{1}{x} = 2 \sqrt{2}$

১/(ঘ) এর সমাধান

$x = \sqrt{2}+1$

$\frac{1}{x} = \sqrt{2}-1$

এখন,

$x-\frac{1}{x} = \sqrt{2}+1- \sqrt{2}+1$

$x-\frac{1}{x} = 2$

১/(ঙ) এর সমাধান

$x^2+\frac{1}{x^2}$

$= (x+\frac{1}{x})^2-2.x.\frac{1}{x}$

$= (2 \sqrt{2})^2-2$

$= 8-2$

$= 6$

বিকল্প পদ্ধতি

$x^2+\frac{1}{x^2}$

$= (x-\frac{1}{x})^2+2.x.\frac{1}{x}$

$= (2)^2+2$

$= 4+2$

$= 6$

১/(চ) এর সমাধান

$x^2-\frac{1}{x^2}$

$= (x+\frac{1}{x}) (x-\frac{1}{x})$

$= 2 \sqrt{2}. 2$

$= 4 \sqrt{2}$

১/(ছ) এর সমাধান

$x^4+\frac{1}{x^4}$

$= (x^2)^2+(\frac{1}{x^2})^2$

$= (x^2 + \frac{1}{x^2})^2-2.x^2.\frac{1}{x^2}$

$= \{(x + \frac{1}{x})^2-2.x.\frac{1}{x}\}^2-2$

$= \{(2 \sqrt{2})^2-2\}^2-2$

$= (8-2)^2-2$

$= 6^2-2$

$= 34$

বিকল্প পদ্ধতি

$x+\frac{1}{x} = 2 \sqrt{2}$

বা, $(x+\frac{1}{x})^2 = (2 \sqrt{2})^2$

বা, $x^2 + 2.x. \frac{1}{x} +\frac{1}{x^2} = 8$

বা, $x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 8$

বা, $x^2+\frac{1}{x^2} = 6$

বা, $(x^2+\frac{1}{x^2})^2 = 6^2$

বা, $x^4+2.x^2.\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}= 36$

বা, $x^4+2+\frac{1}{x^4}= 36$

বা, $x^4+\frac{1}{x^4}= 34$

১/(জ) এর সমাধান

$x^4-\frac{1}{x^4}$

$= (x^2)^2-(\frac{1}{x^2})^2$

$= (x^2+\frac{1}{x^2}) (x^2-\frac{1}{x^2})$

$= \{(x+\frac{1}{x})^2-2.x.\frac{1}{x}\} (x+\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})$

$= \{(2 \sqrt{2})^2-2\}.2 \sqrt{2}.2$

$= (8-2).4 \sqrt{2}$

$= 24 \sqrt{2}$

২। যদি $p^2=5+2\sqrt{6}$ এবং $p>0$ হয়, তাহলে,
(ক) p এর মান নির্ণয় কর।

(খ) $\frac{1}{p}$ এর মান নির্ণয় কর।

(গ) $p+\frac{1}{p}$ এর মান নির্ণয় কর।

(ঘ) $p-\frac{1}{p}$ এর মান নির্ণয় কর।

২/(ক) এর সমাধান

$p^2=5+2 \sqrt{6}$

বা, $p^2 = 3+2 \sqrt{6}+2$

বা, $p^2 = (\sqrt{3})^2+2.\sqrt{3}.\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2$

বা, $p^2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$

বা, $p = \sqrt{3}+\sqrt{2}$

২/(খ) এর সমাধান

$p = \sqrt{3}+\sqrt{2}$

বা, $\frac{1}{p} = \frac{1}{ \sqrt{3}+\sqrt{2}}$

বা, $\frac{1}{p} = \frac{1.(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{ (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}$

বা, $\frac{1}{p} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}$ [ $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$ সূত্র প্রয়োগ করে]

বা, $\frac{1}{p} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}$

বা, $\frac{1}{p} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

২/(গ) এর সমাধান

$p = \sqrt{3}+\sqrt{2}$

$\frac{1}{p} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

এখন,

$p+\frac{1}{p} = \sqrt{3}+\sqrt{2}+ \sqrt{3}-\sqrt{2}$

$p+\frac{1}{p} = 2 \sqrt{3}$

২/(ঘ) এর সমাধান

$p = \sqrt{3}+\sqrt{2}$

$\frac{1}{p} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

এখন,

$p-\frac{1}{p} = \sqrt{3}+\sqrt{2}- \sqrt{3}+\sqrt{2}$

$p+\frac{1}{p} = 2 \sqrt{2}$

বীজগাণিতিক রাশি বেসিক-১-৯ম-১০ম

৩। $p^2=7+4\sqrt{3}$

(ক) p এর মান নির্ণয় কর।

(খ) $\frac{1}{p}$ এর মান নির্ণয় কর।

(গ) $p+\frac{1}{p}$ এর মান নির্ণয় কর।

(ঘ) $p-\frac{1}{p}$ এর মান নির্ণয় কর।

৩/(ক) এর সমাধান

$p^2=7+4 \sqrt{3}$

বা, $p^2 = 4+4 \sqrt{3}+3$

বা, $p^2 = 2^2+2.2.\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2$

বা, $p^2 = (2+\sqrt{3})^2$

বা, $p = 2+\sqrt{3}$

৩/(খ) এর সমাধান

$p = 2+\sqrt{3}$

বা, $\frac{1}{p} = \frac{1}{ 2+\sqrt{3}}$

বা, $\frac{1}{p} = \frac{1.(2-\sqrt{3})}{ (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$

বা, $\frac{1}{p} = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}$ [ $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$ সূত্র প্রয়োগ করে]

বা, $\frac{1}{p} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3}$

বা, $\frac{1}{p} = 2-\sqrt{3}$

৩/(গ) এর সমাধান

$p = 2+\sqrt{3}$

$\frac{1}{p} = 2-\sqrt{3}$

এখন,

$p+\frac{1}{p} = 2+\sqrt{3}+ 2-\sqrt{3}$

$p+\frac{1}{p} = 4$

৩/(ঘ) এর সমাধান

$p = 2+\sqrt{3}$

$\frac{1}{p} = 2-\sqrt{3}$

এখন,

$p-\frac{1}{p} = 2+\sqrt{3}- 2+\sqrt{3}$

$p+\frac{1}{p} = 2 \sqrt{3}$

নিজে কর-১

$x^2=11+2\sqrt{30}, x>0$ হলে,

(ক) x এর মান নির্ণয় কর।

(খ) $\frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় কর।

(গ) $x+\frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় কর।

(ঘ) $x-\frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় কর।

(ঙ) $x^2+\frac{1}{x^2}$ এর মান নির্ণয় কর।

(চ) $x^2-\frac{1}{x^2}$ এর মান নির্ণয় কর।

(ছ) $x^4+\frac{1}{x^4}$ এর মান নির্ণয় কর।

(জ) $x^4-\frac{1}{x^4}$ এর মান নির্ণয় কর।

নিজে কর-২

$a= \sqrt{6}+ \sqrt{5}$ হলে,

(ক) $\frac{1}{a}$ এর মান নির্ণয় কর।

(খ) $a+\frac{1}{a}$ এর মান নির্ণয় কর।

(গ) $a-\frac{1}{a}$ এর মান নির্ণয় কর।

(ঘ) $a^2+\frac{1}{a^2}$ এর মান নির্ণয় কর।

(ঙ) $a^2-\frac{1}{a^2}$ এর মান নির্ণয় কর।

(চ) $a^4+\frac{1}{a^4}$ এর মান নির্ণয় কর।

(ছ) $a^4-\frac{1}{a^4}$ এর মান নির্ণয় কর।

নিজে কর-৩

$a= \sqrt{3}+ \sqrt{2}$ হলে,

(ক) $\frac{1}{a}$ এর মান নির্ণয় কর।

(খ) $a+\frac{1}{a}$ এর মান নির্ণয় কর।

(গ) $a-\frac{1}{a}$ এর মান নির্ণয় কর।

(ঘ) $a^2+\frac{1}{a^2}$ এর মান নির্ণয় কর।

(ঙ) $a^2-\frac{1}{a^2}$ এর মান নির্ণয় কর।

(চ) $a^4+\frac{1}{a^4}$ এর মান নির্ণয় কর।

(ছ) $a^4-\frac{1}{a^4}$ এর মান নির্ণয় কর।

এরপর জানতে হবে

বীজগাণিতিক রাশির সূত্রাবলি প্রয়োগ বেসিক-২

বীজগাণিতিক রাশির সূত্রাবলি প্রয়োগ বেসিক-৩

Related Articles

7 comments

Anonymous
July 5, 2020 at 6:34 am

Thankssi,,

Reply
- Samsuddin Shaheen
  August 20, 2020 at 8:19 pm
  
  welcome
  
  Reply
Abir Hasan
July 13, 2020 at 9:08 pm

Nice

Reply
- Samsuddin Shaheen
  August 20, 2020 at 8:16 pm
  
  Thank you
  
  Reply
Anonymous
September 19, 2020 at 2:15 pm

2×4÷4 =?

Reply
- Samsuddin Shaheen
  September 19, 2020 at 7:47 pm
  
  ans. 2
  সরলের নিয়ম অনুযায়ী প্রথমে ভাগের কাজ করে তারপর গুণের কাজ করতে হবে। যদিও এটিকে গুণের কাজ আগে করে নিয়ে ভাগের কাজ করলেও একই ফলাফল আসবে।
  
  Reply
Anonymous
October 21, 2020 at 7:20 pm

অসাধারণ

Reply

Leave a Reply Cancel reply