লম্ব অভিক্ষেপ-রেখাংশ ও বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ। ৯ম-১০ম উচ্চতর গণিত

লম্ব অভিক্ষেপ-রেখাংশ ও বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ

বিষয়বস্তু: জ্যামিতি (৯ম-১০ম উচ্চতর গণিত)

---

রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ (Orthogonal Projection of a Line)

কোনো রেখাংশের দুইটি প্রান্ত বিন্দু থেকে কোনো সরল রেখার উপর লম্ব অংকন করা হলে উক্ত লম্বদ্বয়ের পাদবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী অংশটুকু হলো উক্ত রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ।

চিত্রে, PQ রেখার উপর AB রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ হল MN । কারণ AB রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু A ও B থেকে PQ রেখার উপর অংকিত লম্ব AM ও BN দ্বারা MN অভিক্ষেপ নির্ণয় করা হয়েছে ।  মনে রাখতে হবে, লম্ব অংকন দ্বারা অভিক্ষেপ নির্ণয় করা হয়।

আর একটি বিষয়:

কোনো সরলরেখার উপর ঐ রেখার সমান্তবাল কোনো রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য ঐ রেখাংশের দৈর্ঘ্যের সমান।

চিত্রে PQ রেখার সমান্তরাল রেখাংশ GB -এর লম্ব অভিক্ষেপ MN । এখানে GB = MN ।

বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ (Orthogonal Projection of a Point )

কোনো বিন্দু থেকে কোনো নির্দিষ্ট সরল রেখার উপর লম্ব অংকন করা হলে উক্ত লম্বের পাদবিন্দুই হল উক্ত বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ।

চিত্রে, EF রেখার উপর O বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ হল S বিন্দু । কারণ O বিন্দু থেকে EF রেখার উপর অংকিত লম্ব OS এবং S হল সরলরেখাটির উপর লম্বের পাদবিন্দু।

নোট:

কোনো রেখার উপর ঐ রেখার লম্ব রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ একটি বিন্দু যার দৈর্ঘ্য শূণ্য। উপরের চিত্রে, রেখার উপর লম্ব রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ । যেহেতু একটি বিন্দু তাই এর দৈর্ঘ্য শূণ্য।

উল্লেখ্য,

নিচে তিনটি উপপাদ্য উল্লেখ করা হলো, যেগুলো প্রমাণ করার জন্য লম্ব অভিক্ষেপ সম্পর্কে স্পষ্ট ধারণা থাকা প্রয়োজন।

উপপাদ্যগুলো (৯ম-১০ম উচ্চতর গণিত এর অন্তর্ভূক্ত) হল:

১। স্থূলকোণী ত্রিভূজের স্থূলকোণের বিপরীত বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্র ঐ কোণের সন্নিহিত অন্য দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফল এবং ঐ দুই বাহুর যেকোনো একটি ও তার উপর অপর বাহুর লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণের সমষ্টির সমান। [নবম-দশম শ্রেণির উচ্চতর গণিত উপপাদ্য-৩]

২। যেকোনো ত্রিভূজের সূক্ষ্মকোণের বিপরীত বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি অপেক্ষা ঐ দুই বাহুর যেকোনো একটি ও তার উপর অপরটির  লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ পরিমান কম। [নবম-দশম শ্রেণির উচ্চতর গণিত উপপাদ্য-৪]

৩। ত্রিভূজের যেকোনো দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি, তৃতীয় বাহুর অর্ধেকের উপর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এবং ঐ বাহুর সমদ্বিখন্ডক মধ্যমার উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির দ্বিগুণ। [নবম-দশম শ্রেণির উচ্চতর গণিত উপপাদ্য-৫]