সমান্তর ধারা, সাধারণ পদ ও সমস্যা সমাধান। ৯ম-১০ম গণিত

সমান্তর ধারা, সাধারন পদ ও সমস্যা সমাধান

বিষয়বস্তু: সসীম ধারা (৯ম-১০ম গণিত)

আলোচ্য বিষয়সমূহ: সমান্তর ধারা কী, সমান্তর ধারার সাধারণ পদ, সমান্তর ধারা সংশ্লিষ্ট সমস্যা সমাধান।

সমান্তর ধারা

কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য (বিয়োগফল) সমান হলে তাকে সমান্তর ধারা বলে। সমান্তর ধারা সসীম বা অসীম যেকোনোটি হতে পারে। যেমন:

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + . . . . . . . . . + 256

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + . . . . . . . . .

সাধারণত সমান্তর ধারার ১ম পদকে  a  এবং সাধারণ অন্তরকে  d  দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তাহলে সংজ্ঞানুসারে, ধারাটির

২য় পদ = a + d

৩য় পদ = a + 2d

৪র্থ পদ = a + 3d

সুতরাং ধারাটি a + (a + d) + (a+2d) + (a+3d) + . . . . . . . . . . . . .

সমান্তর ধারার সাধারণ পদ

কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ  a  এবং সাধারণ অন্তর  d হলে, ধারাটির

১ম পদ = a            = a + (1 - 1)d

২য় পদ = a + d     = a + (2 - 1)d

৩য় পদ = a + 2d  = a + (3 - 1)d

৪র্থ পদ = a + 3d   = a + (4 - 1)d ইত্যাদি

সুতরাং সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বা n তম পদ  = a + (n - 1)d

সমস্যা ও সমাধান

উদাহরণ-১

একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ 5 এবং সাধারণ অন্তর 3 হলে, ধারাটির n তম পদ কত?

সমাধান:

n তম পদ  = a + (n - 1)d

= 5 + (n - 1)3

= 5 + 3n - 3

= 2 + 3n

Ans. 2 + 3n

উদাহরণ-২

একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ 5 এবং সাধারণ অন্তর 3 হলে, ধারাটির দশম পদ কত?

সমাধান:

ধারাটির n তম পদ  = a + (n - 1)d

সুতরাং ধারাটির দশম পদ = 5 + (10 - 1)3

= 5 + 9 \times 3

= 5 + 27

= 32

Ans. 32

উদাহরণ-৩

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + . . . . . . . . . ধারাটির কোন পদ 250 ?

সমাধান:

ধারাটির ১ম পদ a = 2, সাধারণ অন্তর d = 4 - 2 = 2

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 250

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ  = a + (n - 1)d

সুতরাং

a + (n - 1)d = 250

বা, 2 + (n - 1)2 = 250

বা, 2 + 2n - 2 = 250

বা, 2n = 250

\therefore n = 125

সুতরাং, 125 তম পদ 250

Ans. 125 তম পদ

উদাহরণ-৪

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + . . . . . . . . . + 256 ধারাটিতে মোট কতটি পদ আছে ?

সমাধান:

ধারাটির ১ম পদ a = 2, সাধারণ অন্তর d = 4 - 2 = 2

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 256

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ  = a + (n - 1)d

সুতরাং

a + (n - 1)d = 256

বা, 2 + (n - 1)2 = 256

বা, 2 + 2n - 2 = 256

বা, 2n = 256

\therefore n = 128

সুতরাং 128 তম পদ 256

অতএব,

ধারাটিতে 128 টি পদ আছে।

Ans. 128 টি পদ।

উদাহরণ-৫

কোনো সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, (m+n) তম পদ কত ?

সমাধান:

মনে করি, ধারাটির ১ম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d

সমান্তর ধারার n তম পদ  = a + (n - 1)d = a + nd - d

এবং m তম পদ  = a + (m - 1)d = a + md - d

সুতরাং

a + md - d = n . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . (i)

a + nd - d = m . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . (ii)

————————————————-

d (m – n) = n – m [বিয়োগ করে]

বা, d = \frac{n - m}{m - n}

বা, d = \frac{- (m - n)}{m - n}

\therefore d = - 1

এখন,

(m + n) তম পদ = a + (m + n - 1)d

= a + md + nd - d

= a + md - d + nd

= n + n (- 1)

= n - n

= 0

Ans. 0

15 comments

  1. SAHADEB CHANDRA BARAI
    September 10, 2018 at 11:21 am

    Thank you.

    Reply
  2. Anonymous
    December 5, 2018 at 7:50 pm

    সৃজনশীল গুলো seen হচ্ছেনা কেনো স্যার?

    Reply
  3. Anonymous
    September 26, 2019 at 8:39 pm

    Thank you sir

    Reply
  4. manov roy
    November 29, 2019 at 12:01 pm

    Thank you sir

    Reply
  5. Tahsin Atif
    March 7, 2020 at 7:52 pm

    Sir, This is very helpful for every beginners.

    Reply
  6. Md Nadim Ali
    April 11, 2020 at 9:32 pm

    ধন্যবাদ স্যার, স্টুডেন্ট দের জন্য এই ডিজিটাল কন্টেন্ট গুলো লিখার জন্য।

    Reply
  7. Anonymous
    March 16, 2021 at 7:57 pm

    Sir akhane last e a kothai gelo

    Reply
    • Samsuddin Shaheen
      October 2, 2021 at 9:22 pm

      (i) নং সমীকরণ থেকে মান বসানোর ফলে a আর থাকছে না এখানে। কারন (i) এ আছে a+md-d=n

      Reply
  8. Anjil fariha
    August 17, 2023 at 2:32 am

    Thank you sir

    Reply

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

2023 © MATHBD | ALL RIGHTS RESERVED