Setup Menus in Admin Panel

Call us: 01722006901 | mathbd.com@gmail.com

Login

সরল সহসমীকরণের সমাধান

সরল সহসমীকরনের সমাধান গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। এই বিষয়টি সম্পর্কে আমাদের জানা থাকা প্রয়োজন। প্রাত্যহিক জীবনের বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা সমাধানে সরল সহসমীকরণের সমাধান সম্পর্কিত জ্ঞান আমাদেরকে সাহায্য করে থাকে। আমরা বিভিন্ন সমস্যার উপর ভিত্তি করে সমীকরণ গঠণ পূর্বক এ সকল সমস্যার সমাধান করতে পারি।

সরল সহসমীকরণ কী?

চলকের একই মান দ্বারা একাধিক সমীকরণ যুগপৎ সিদ্ধ হলে উক্ত সমীকরণসমূহকে একত্রে সহসমীকরণ বলা হয়। আর সমীকরণগুলো একঘাতবিশিষ্ট হলে তাদেরকে সরল সহসমীকরণ বলা হয়।

ব্যাখ্যা:

x + y = 10 – – – – – – – – – – – – – (1)

x – y = 8 – – – – – – – – – – – – – (2)

সমীকরণ দু’টিকে বিবেচনা করি।

এখানে, উভয় সমীকরণই অসংখ্য মান দ্বারা সিদ্ধ হয়। যেমন,

(1) নং সমীকরণটি x = 5, y = 5 বা x = 6, y = 4 বা x = 9, y = 1 ইত্যাদি অসংখ্য মান দ্বারা সিদ্ধ হয়। আবার (2) নং সমীকরণটি x = 18, y = 10 বা x = 10, y = 2 বা x = 9, y = 1 ইত্যাদি অসংখ্য মান দ্বারা সিদ্ধ হয়।

সমীকরণ দু’টিকে একত্রে বিবেচনা করলে উভয় সমীকরণ  x = 9, y = 1 দ্বারা যুগপৎ সিদ্ধ হয়। তাই একঘাতবিশিষ্ট এই সমীকরণ দু’টিকে একত্রে সরল সহসমীকরণ বলা হয়।

সহসমীকরণের মূল

চলকদ্বয়ের যে মান সহসমীকরসমূহকে যুগপৎ সিদ্ধ করে তাদেরকে সহসমীকরণের মূল বলা হয়। উল্লেখিত সহসমীকরণের মূল হলো 9 ও 1 । অর্থাৎ সহসমীকরণের সমাধান (x, y) = (9, 1) ।

দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরনের সমাধান

সরল সহসমীকরনের সমাধান এর এই আলোচনাতে দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণের সমাধান স্থান পেয়েছে। দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণের সমাধান এর কয়েকটি পদ্ধতি রয়েছে। এখানে দুইটি পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করা হচ্ছে। পদ্ধতি দু’টি হলো:

১। প্রতিস্থাপন পদ্ধতি

২। অপনয়ন পদ্ধতি

প্রতিস্খাপন পদ্ধতিতে সমাধান

দুই চলকবিশিষ্টি সরল সহসমীকরণের সমাধান করার জন্য প্রতিস্থাপন পদ্ধতির ব্যাপক ব্যবহার রয়েছে। প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান করার জন্য প্রয়োজনীয় ধাপগুলো ধারাবাহিকভাব দেয়া হল।

ধাপ-০১

প্রথমে যেকোন একটি সমীকরণ থেকে একটি চলকের মানকে অপর চলকের মাধমে প্রকাশ করতে হবে।

যেমন,

2x + 3y = 19 – – – – – – – – – – – – – (1)

x + 5y = 6 – – – – – – – – – – – – – (2)

এই সমীকরণজোটকে সমাধান করার জন্য

প্রথমে (2) নং সমীকরণের একটি চলক x কে y চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করলে নিম্নরূপ হবে।

x = 6 – 5y  – – – – – – – – – – – – – (3)

ধাপ-০২

প্রাপ্ত চলকের মানটি অপর সমীকরণে স্থাপন করলে দুইচলকবিশিষ্ট সমীকরণটি একচলকবিশিষ্ট সমীকরণে পরিণত হবে।

যেমন,

(2) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত x চলকের মানটি (1) নং সমীকরণে বসালে সমীকরণটি শুধুমাত্র y চলকবিশিষ্ট অর্থাৎ নিম্নরূপ একচলকবিশিষ্ট সমীকরণে পরিণত হবে।

2(6 – 5y) + 3y = 19

ধাপ-০৩

সরল সমীকরণ সমধানের বিভিন্ন নিয়ম তথা যোগ ও গুণের বিধিসমূহ, সমীকরণ সমাধানের স্বতঃসিদ্ধ ও বিধিসমূহ অনুসরণ করে সমাধান করতে হবে।

2(6 – 5y) + 3y = 19

বা, 12 – 10y + 3y = 19 [গুণের বন্টন বিধি]

বা, 12 – 7y = 19

বা, – 7y = 19 – 12 [পক্ষান্তর বিধি]

বা, – 7y = 7

বা, 7y = – 7

[স্বতঃসিদ্ধ : পরস্পর সমান রাশির প্রতিটিকে একই রাশি দ্বারা গুণ করলে গুণফলগুলো পরস্পর সমান থাকে। এখানে উভয়পক্ষে একই রাশি (-1) দ্বারা গুণ করা হয়েছে।]

\therefore y = – 1

[স্বতঃসিদ্ধ : পরস্পর সমান রাশির প্রতিটিকে একই রাশি দ্বারা ভাগ করলে ভাগফলগুলো পরস্পর সমান থাকে। এখানে উভয় পক্ষকে একই রাশি 7 দ্বারা ভাগ করা হয়েছে।]

ধাপ-০৪

নির্ণীত সমাধান প্রদত্ত সমীকরণজোটের যেকোনো একটিতে বসিয়ে অপর চলকের মান নির্ণয় করতে হবে।

যেমন,

প্রাপ্ত y চলকের মানটি (3) নং সমীকরণে বসিয়ে অপর চলক তথা x চলকের মান নির্ণয় করা হল। উল্লেখ্য যে, (3) নং সমীকরণটি আসলে (2) নং সমীকরণের রূপান্তর মাত্র।

x = 6 – 5y – – – – – – – – – – – – – (3)

বা, x = 6 – 5.(-1)

বা, x = 6 + 5

\therefore x = 11

অতএব,

নির্ণেয় সমাধান ( x, y ) = ( 11, -1 )

অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান

দুই চলকবিশিষ্টি সরল সহসমীকরণের সমাধান করার জন্য অপনয়ন পদ্ধতি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করার জন্য প্রয়োজনীয় ধাপগুলো ধারাবাহিকভাব দেয়া হল।

ধাপ-০১

প্রথমে সমীকরণ দু’টির যেকোনো একটি চলকের সহগ সমান করার জন্য উভয় সমীকরণকে উপযুক্ত সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হয়।

যেমন,

4x + 3y = 11 – – – – – – – – – – – – – (1)

3x – 4y = 2 – – – – – – – – – – – – – (2)

এই সমীকরণজোটকে সমাধান করার জন্য

প্রথমে সমীকরণ দু’টির x চলকের সহগ সমান করার জন্য (1) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা এবং (2) নং সমীকরণকে 4 দ্বারা গুণ করতে হবে। ফলে সমীকরণ দু’টি নিম্নরূপ হবে।

12x + 9y = 33

12x – 16y = 8

ধাপ-০২

সমান সহগদ্বয় একই চিহ্নবিশিষ্ট হলে সমীকরণদ্বয়কে বিয়োগ করতে হবে। আর বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হলে যোগ করতে হবে।

এখানে,

প্রাপ্ত সমীকরণ দু’টির সমান সহগদ্বয় একই চিহ্নবিশিষ্ট। তাই সমীকরণদ্বয়কে বিয়োগ  করতে হবে এবং প্রাপ্ত ফলাফল হবে নিম্নরূপ:

12x + 9y = 33

12x – 16y = 8

(-)    (-)      (-)

– – – – – – – –  – – – –

25y = 25

ধাপ-০৩

সরল সমীকরণ সমধানের বিভিন্ন নিয়ম তথা যোগ ও গুণের বিধিসমূহ, সমীকরণ সমাধানের স্বতঃসিদ্ধ ও বিধিসমূহ অনুসরণ করে সমাধান করতে হবে।

25y = 25

\therefore y = 1

[স্বতঃসিদ্ধ : পরস্পর সমান রাশির প্রতিটিকে একই রাশি দ্বারা ভাগ করলে ভাগফলগুলো পরস্পর সমান থাকে। এখানে উভয় পক্ষকে 25 দ্বারা ভাগ করা হয়েছে।  ]

ধাপ-০৪

প্রাপ্ত চলকের মান প্রদত্ত সমীকরণগুলোর যেকোনো একটিতে বসিয়ে অপর চলকের মান নির্ণয় করতে হবে। এখানে y চলকের প্রাপ্ত মানটি (1) নং সমীকরণে বসিয়ে অপর চলকের মান নির্ণয় করা হল।

4x + 3y = 11

বা, 4x + 3.1 = 11

বা, 4x + 3 = 11

বা, 4x = 11 – 3

বা, 4x = 8

\therefore x = 2 [উভয় পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে]

অতএব,

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 1)

0 responses on "সরল সহসমীকরণের সমাধান"

Leave a Message

Your email address will not be published.

© mathbd.com