Call us: +8801580784884 | [email protected]

Login

সরল সহসমীকরণের সমাধান-প্রতিস্থাপন, অপনয়ন, আড়গুণন বা বজ্রগুণন ও লৈখিক পদ্ধতি

এই আলোচনায় থাকছে সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল সরল সহসমীকরণ অর্থাৎ যে সমীকরণজোটের একটিমাত্র (অনন্য) সমাধান থাকে তার সমাধান পদ্ধতি। এখানে চারটি সমাধান পদ্ধতি সম্পর্কে আলোচনা করা হচ্ছে। পদ্ধতি চারটি হল:

১। প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ২। অপনয়ন পদ্ধতি ৩। আড়গুণন পদ্ধতি ও ৪। লৈখিক পদ্ধতি

নিচের সমীকরণজোটটির সমাধান উল্লেখিত চারটি পদ্ধতিতে এখানে করে দেখানো হচ্ছে।

2x + y = 8 . . . . . . . . . . . . . . .  (i)

3x - 2y = 5 . . . . . . . . . . . . . . .  (ii)

প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান

2x + y = 8 . . . . . . . . . . . . . . .  (i)

3x - 2y = 5 . . . . . . . . . . . . . . .  (ii)

(১) প্রথমে সুবিধামত একটি সমীকরণ থেকে একটি চলকের মান অপর চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে। যেমন:

(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,

y = 8 - 2x . . . . . . . . . . . . . . .  (iii)

(২) প্রাপ্ত মান অপর সমীকরণে বসালে এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ পাওয়া যায়। যেমন:

(ii) নং সমীকরণে y = 8 - 2x বসিয়ে পাই,

3x - 2(8 - 2x) = 5

(৩) অতঃপর সমীকরণটি সমাধান করে চলকটির মান পাওয়া যায়। যেমন:

3x - 16 + 4x = 5

বা, 7x = 5 + 16

বা, 7x = 21

বা, x = \frac{21}{7}

\therefore x = 3

(৪) এই মান প্রদত্ত সমীকরণের যে কোনোটিতে বসালে অপর চলকের মান পাওয়া যায়। তবে যেখানে একটি চলককে অপর চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়েছে সেখানে বসালে সমাধান সহজ হয়। যেমন:

(iii) নং সমীকরণে x = 3 বসিয়ে পাই

y = 8 - 2 \times 3

বা, y = 8 - 6

\therefore y = 2

\therefore সমাধান (x, y) = (3, 2)

অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান

2x + y = 8 . . . . . . . . . . . . . . .  (i)

3x - 2y = 5 . . . . . . . . . . . . . . .  (ii)

(১) প্রথমে সুবিধামত একটি সমীকরণকে বা উভয় সমীকরণকে এরূপ সংখ্যা দিয়ে গুণ করতে হবে যেন গুণনের পর উভয় সমীকরণের যেকোনো একটি চলকের সহগের পরমমান সমান হয়। যেমন:

(i) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,

4x + 2y = 16

(২) প্রয়োজনমত সমীকরণ দুইটিকে যোগ অথবা বিয়োগ করলে সহগ সমানকৃত চলকটি অপসারিত হয়। যেমন:

3x - 2y = 5

4x + 2y = 16

———————-

7x = 21 [যোগ করে]

(৩) অতঃপর সমীকরণটি সমাধান করলে বিদ্যমান চলকটির মান পাওয়া যায়। যেমন:

7x = 21

বা, x = \frac{21}{7}

\therefore x = 3

(৪) এই মান সুবিধামত প্রদত্ত সমীকরদ্বয়ের যে কোনোটিতে বসালে অপর চলকের মান পাওয়া যায়। যেমন:

(i) নং সমীকরণে x = 3 বসিয়ে পাই

2 \times 3 + y = 8

বা, 6 + y = 8

বা, y = 8 - 6

\therefore y = 2

\therefore সমাধান (x, y) = (3, 2)

আগগুণন (বজ্রগুণন) পদ্ধতিতে সমাধান

a_1x + b_1y + c_1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . .  (i)

a_2x + b_2y + c_2 = 0 . . . . . . . . . . . . . . .  (ii)

(i)(ii) নং সমীকরণ থেকে আড়গুণন পদ্ধতিতে পাই

\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} =  \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}

সুতরাং

x = \frac{b_1c_2 - b_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1} এবং y = \frac{c_1a_2 - c_2a_1}{a_1b_2 - a_2b_1}

\therefore  সমাধান (x, y) =  \left( \frac{b_1c_2 - b_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1}, \frac{c_1a_2 - c_2a_1}{a_1b_2 - a_2b_1} \right)

উদাহরণ:

2x + y = 8 . . . . . . . . . . . . . . .  (i)

3x - 2y = 5 . . . . . . . . . . . . . . .  (ii)

(১) প্রথমে পক্ষান্তর প্রক্রিয়ায় সমীকরণদ্বয়ের ডানপক্ষ  0 (শূন্য) করে নিতে হবে। তবে ধ্রবক পদ ডানপক্ষে রেখেও আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করা যায়।

(i)(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই

2x + y - 8 = 0 . . . . . . . . . . . . . . .  (iii)

3x - 2y - 5 = 0 . . . . . . . . . . . . . . .  (iv)

(iii)(iv) নং সমীকরণ থেকে আড়গুণন পদ্ধতিতে পাই

\frac{x}{1 \times (- 5) - (- 2) \times (- 8)} =  \frac{y}{3 \times (- 8) - 2 \times (- 5)} = \frac{1}{2 \times (- 2) - 3 \times 1}

বা, \frac{x}{- 5 - 16 } =  \frac{y}{- 24 + 10} = \frac{1}{- 4 - 3}

বা, \frac{x}{- 21} =  \frac{y}{- 14} = \frac{1}{- 7}

সুতরাং,

\frac{x}{- 21} =  \frac{1}{- 7}

বা, - 7x= - 21

বা, 7x= 21

\therefore x= 3

এবং

\frac{y}{- 14} =  \frac{1}{- 7}

বা, - 7y= - 14

বা, 7y= 14

\therefore y= 2

\therefore সমাধান (x, y) = (3, 2)

লৈখিক পদ্ধতিতে সমাধান

দুই চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণের x ও y এর সম্পর্ককে চিত্রের সাহায্যে প্রকাশ করা হলে উক্ত চিত্রকে ঐ সম্পর্কের লেখচিত্র বলে। প্রত্যেকটি সমীকরণের লেখ একটি সরলরেখা। সরলরেখাটির প্রতিটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। তাই প্রতিটি সরল সমীকরণের অসংখ্য সমাধান আছে।

কোনো সরল সমীকরণের লেখ নির্দিষ্ট করতে দুই বা ততোধিক বিন্দু নিতে হয়। বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে যোগ করলে উক্ত সমীকরণের লেখ (একটি সরলরেখা) পাওয়া যায়। ছক কাগজে কোনো সমীকরণজোটের সমীকরণদ্বয়ের জন্য এরূপ দুইটি সরলরেখা অঙ্কনের পর নিম্নরূপ সিদ্ধান্ত গৃহীত হয়:

১। সরলরেখা দুইটি পরস্পরকে কোনো একটি বিন্দুতে ছেদ করলে উক্ত বিন্দুই সমীকরণজোটের একমাত্র (অনন্য) সমাধান।

২। সরলেরখা দুইটি পরস্পরের উপর সমাপতিত হয়ে একটি সরলরেখায় পরিণত হলে সমীকরণজোটটির অসংখ্যা সমাধান আছে।

৩। সরলরেখা দুইটি পরস্পর সমান্তরাল হলে তাদের কোনো সাধারণ ছেদ বিন্দু পাওয়া যাবে না। অতএব, এরূপ সমীকরণজোটের কোনো সমাধান নেই।

উদাহরণ:

2x + y = 8 . . . . . . . . . . . . . . .  (i)

3x - 2y = 5 . . . . . . . . . . . . . . .  (ii)

(১) প্রথমে (i)  নং সমীকরণ থেকে একটি চলকের মান অপর চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে। যেমন:

(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,

y = 8 - 2x  . . . . . . . . . . . . . . .  (iii)

(২) সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করে লেখের তিনটি বিন্দুর জন্য একটি ছক তৈরি করতে হবে। যেমন:

x 1 0 3
y 6 8 2
\therefore সমীকরণটির লেখের তিনটি বিন্দু (1, 6), (0, 8), (3, 2)

(৩) আবার (ii) নং সমীকরণ থেকে একটি চলকের মান অপর চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে। যেমন:

(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,

- 2y = 5 - 3x

2y = 3x - 5

\therefore y = \frac{3x - 5}{2}

(৪) সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করে লেখের তিনটি বিন্দুর জন্য একটি ছক তৈরি করতে হবে। যেমন:

x – 1 3 5
y – 4 2 5
\therefore সমীকরণটির লেখের তিনটি বিন্দু (- 1, - 4), (3, 2), (5, 5)

(৫) ছক কাগজে x-অক্ষ, y-অক্ষ এবং মূলবিন্দু চিহ্নিত করতে হবে। অতঃপর x-অক্ষ, y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রয়োজন মতো বাহুকে একক ধরে (i) নং সমীকরণের বিন্দুগুলো স্থাপন করে যোগ করলে সমীকরণটির লেখ (সরলরেখা) পাওয়া যাবে। অনুরূপভাবে (ii) নং সমীকরণের বিন্দুগুলো স্থাপন করে যোগ করলে সমীকরণটির লেখ (সরলরেখা) পাওয়া যাবে।

উল্লেখিত সমীকরণদ্বয় থেকে প্রাপ্ত বিন্দুগুলো স্থাপন ও যোগ করার ফলে যে দুটি সরলরেখা পাওয়া গেল তারা পরস্পর (3, 2) বিন্দুতে ছেদ করে।
\therefore সমাধান (x, y) = (3, 2)

6 responses on "সরল সহসমীকরণের সমাধান-প্রতিস্থাপন, অপনয়ন, আড়গুণন বা বজ্রগুণন ও লৈখিক পদ্ধতি"

  1. It was so helpful

  2. বিজয় রিছিলOctober 1, 2019 at 10:05 amReply

    হুমমম,দারুন..
    আমি মনে করি শিক্ষার্থীদের জন্য এটা খুবই চমৎকার সাহায্যকারী ঠিকানা।।।।

  3. thank you it was helpful

  4. x এর মান কি ইচ্ছা মতো ধরা যাবে??

    • লেখচিত্রের মাধ্যমে সমাধান করার ক্ষেত্রে x এর মান ইচ্ছা মতো ধরা যাবে যদি সমীকরণটির y কে x চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করে নেয়া হয় অর্থাৎ y = x যুক্ত পদসহ প্রদত্ত অন্যান্য পদ আকারে প্রকাশ করে নেয়া হয় তাহলে। এই আকারে প্রকাশ করলে x কে বলা হয় স্বাধীন চলক এবং y কে অধীন চলক বলা হয়। কারন y চলকের মান x চলকের উপর নির্ভরশীল। কিন্তু x চলকের মান অপর কোনো চলকের উপর নির্ভরশীল নয়।

Leave a Message

Your email address will not be published.

© mathbd.com