অনুক্রম, ধারা ও ধারার প্রকারভেদ। ৯ম-১০ম গণিত

$sequence-series-and-its-kinds-math-class-9-10-mathbd$

অনুক্রম, ধারা ও ধারার প্রকারভেদ

বিষয়বস্তু: সসীম ধারা (৯ম-১০ম গণিত)

আলোচ্য বিষয়সমূহ: অনুক্রম, অনুক্রমের উদাহরণ, ধারা, পদ সংখ্যার ভিত্তিতে ধারার প্রকারভেদ, সসীম ধারা, অসীম ধারা, বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে ধারার প্রকারভেদ, সমান্তর ধারা ও গুণোত্তর ধারা।

অনুক্রম (Sequence)

যে রাশিগুলোকে একটি বিশেষ নিয়ম অনুসরণ করে ক্রমান্বয়ে এমনভাবে সাজানো হয় যে প্রত্যেক রাশি তার পূর্বের পদ ও পরের পদের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তা জানা যায় তাদের সেটকে অনুক্রম বলা হয়। যেমন:

$\{2, 4, 6, 8, 10, . . . . . . . . . . \}$ জোড় সংখ্যার সেটটি একটি অনুক্রম।

এই সেটের প্রতিটি রাশি তার পূর্বের পদের দ্বিগুণ এবং তার পরের পদের অর্ধেক। অর্থাৎ রাশিগুলোকে একটি নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসরণ করে ক্রমান্বয়ে সাজানো হয়েছে।

এখানে,

স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $N = \{1, 2, 3, 4, 5, . . . . . . . . . . \}$

এবং একটি অনুক্রম $A = \{2, 4, 6, 8, 10, . . . . . . . . . . \}$ হলে,

অনুক্রমের রাশিগুলোর সম্পর্ককে $n \leftrightarrow 2n, n\in N$ দ্বারা বর্ণনা করা যায়। যেকোনো অনুক্রমের পদসংখ্যা অসীম।

উল্লেখিত অনুক্রমের সম্পর্কটিকে ফাংশন আকারে প্রকাশ করলে হবে $f(n) = 2n$ ।

এই অনুক্রমের সাধারণ পদ $2n$ ।

অনুক্রমের আরো উদাহরণ:

$1, 2, 3, 4, 5, . . . . . . . . . .$

এই অনুক্রমের রাশিগুলো ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা এবং এর সাধারণ পদ $n$

$1, 4, 9, 16, 25, . . . . . . . . . .$

এই অনুক্রমের রাশিগুলোর সম্পর্ককে $n \leftrightarrow n^2, n\in N$ দ্বারা বর্ণনা করা যায় এবং এর সাধারণ পদ $n^2$

$\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, . . . . . . . . . .$

এই অনুক্রমের রাশিগুলোর সম্পর্ককে $n \leftrightarrow \frac{n}{n+1}, n\in N$ দ্বারা বর্ণনা করা যায় এবং এর সাধারণ পদ $\frac{n}{n+1}$

অনুক্রমের সাধারণ পদ দেওয়া থাকলে অনুক্রমটি সহজেই লেখা যায়। যেমন:

একটি অনুক্রমের সাধারণ পদ $\frac{1}{2^{n-1}}$ হলে, অনুক্রমটি নিম্নরূপ হবে

$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, . . . . . . . . . .$

ধারা (Series)

কোনো অনুক্রমের পদগুলো পরপর ‘+’ চিহ্ন দ্বারা যুক্ত করলে একটি ধারা গঠিত হয়। যেমন:

$2 + 4 + 6 + 8 + 10 + . . . . . . . . . .$

$2 + 6 + 18 + 54 + 162 + . . . . . . . . . .$

উল্লেখিত দুইটি ধারার মধ্যে প্রথম ধারাটির পরপর দুইটি পদের পার্থক্য সমান।

অর্থাৎ $4 -2 = 2, 6 - 4 = 2, 8 - 6 = 2$ ইত্যাদি।

আবার, দ্বিতীয় ধারাটির ক্ষেত্রে পরপর দুইটি পদের অনুপাত সমান।

অর্থাৎ $6 \div 2 = 3, 18 \div 6 = 3, 54 \div 18 = 3$ ইত্যাদি।

যেকোনো ধারার পরপর দুইটি পদের মধ্যে যে সম্পর্ক থাকে তা দ্বারা ধারাটির বৈশিষ্ট নির্ধারিত হয়। এরূপ দুইটি গুরুত্বপূর্ণ ধারা হলো সমান্তর ধারা ও গুণোত্তর ধারা।