সাজেশন-স্থানাঙ্ক জ্যামিতি। ৯ম-১০ম উচ্চতর গণিত

সাজেশন

অনুশীলনের জন্য নির্বাচিত প্রশ্নাবলি

বিষয়বস্তু: স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (৯ম-১০ম উচ্চতর গণিত)

স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে নিজের যোগ্যতা ও দক্ষতাকে শক্তিশালী করার জন্য নিচের প্রশ্নগুলো অনুশীলন করে নাও।

সৃজনশীল প্রশ্ন

প্রতিটি প্রশ্নের মান: ২+৪+৪=১০

১। $A(6, 12), B(2, -3), C(6, -3)$ ও $D(10, 12)$ একটি চতুর্ভূজের চারটি শীর্ষবিন্দু।

ক. $P(-3, 4)$ এবং $Q(-4, 2)$ বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল নির্ণয় কর।

খ. $A, B, C$ ও $D$ বিন্দু চারটি দ্বারা গঠিত চতুর্ভূজ আয়ত না সামান্তরিক তা নির্ণয় কর।

গ. $ABCD$ চতুর্ভূজের যে অংশ ১ম চতুর্ভূাগে অবস্থান করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

২। $P(-4, 12), Q(7, 7), R(10, -4)$ এবং $S(6, 0)$ একটি চতুর্ভূজের চারটি শীর্ষবিন্দু।

ক. $PR$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

খ. লেখচিত্রে প্রদর্শন পূর্বক $PQRS$ চতুর্ভূজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. $PS$ রেখাটি $x$ অক্ষ ও $y$ অক্ষের সাথে যে ত্রিভূজ গঠণ করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

৩। $P(3, 4), Q(-4, 2), R(6, -1)$ এবং $S(k, 3)$ একটি চতুর্ভূজের চারটি শীর্ষবিন্দু এবং বিন্দু চারটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত।

ক. $Q$ ও $R$ বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী রেখার ঢাল নির্ণয় কর।

খ. $T(x, y)$ বিন্দুটি $Q$ ও $R$ বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী হলে, প্রমাণ কর যে, $20x-6y=17$

গ. $PQRS$ চতুর্ভূজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $PQR$ ত্রিভূজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের তিনগুণ হলে $k$ এর মান নির্ণয় কর।

৪। $3x-2y=6$ একটি সরলরেখার সমীকরণ এবং $A(x, y)$ ও $B(a, b)$ দু’টি বিন্দুর স্থানাঙ্ক।

ক. সরলরেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

খ. সরলরেখাটির সমান ঢালবিশিষ্ট এবং $C(2, -1)$ বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করে সরলরেখাটি দ্বারা $y$ অক্ষের ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $AB$ এর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$

৫। $\triangle ABC$ এর তিনটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে $A(2, -4), B(-4, 4)$ এবং $C(3, 3)$

ক. $AB$ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $\triangle ABC$ একটি সমকোণী ও সমদ্বিবাহু ত্রিভূজ।

গ. $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

৬। $A(3, -6), B(-6, -2), C(-2, 6)$ এবং $D(8, 4)$ একই সমতলে অবস্থিত চারটি বিন্দু।

ক. $B$ ও $C$ বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।

খ. $P(x, y)$ বিন্দু থেকে $x$ -অক্ষের ও $A$ বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে, দেখাও যে, $x^2-6x+12y+45=0$

গ. $ABCD$ চতুর্ভূজের শীর্ষসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত ধরে নিয়ে চতুর্ভূজের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা বের কর।

৭। $A(7, 2), B(-4, 2), C(-4, -3)$ এবং $D(7, -3)$ বিন্দুগুলো $ABCD$ চতুর্ভূজের চারটি শীর্ষবিন্দু।

ক. $AB$ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. $A$ ও $B$ বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী অপর একটি বিন্দু $P(t, 2t)$ হলে, $t$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $ABCD$ চতুর্ভূজটি একটি আয়ত।

৮। চারটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $A(0, 1), B(-1, -2), C(2, -3), D(3, 0)$

ক. $AB$ রেখার ঢাল নির্ণয় কর।

খ. $ABCD$ চতুর্ভূজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. $AC$ ও $BD$ রেখার ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

৯। $5$ ঢালবিশিষ্ট একটি রেখা $A(2, -5)$ বিন্দু দিয়ে যায় এবং $x$ -অক্ষকে $B$ বিন্দুতে ছেদ করে। $A$ বিন্দুগামী অন্য একটি রেখা $x$ -অক্ষকে $C(-3, 0)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

ক. $A$ বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. $AB$ রেখার সমীকরণ এবং এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

গ. ছক কাগজে স্থাপন পূর্বক $\triangle ABC$ এর শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্কের সাহায্যে ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

১০। $A(1, 4a)$ এবং $B(5, a^2-1)$ বিন্দুগামী রেখার ঢাল $-1$

ক. দেখাও যে, $A$ এর দুইটি মান রয়েছে।

খ. $A$ এর মানদ্বয়ের জন্য যে চারটি বিন্দু পাওয়া যায় তাদের $C, D, E$ ও $F$ ধরে গঠিত চতুর্ভূজ $CDEF$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. চতুর্ভূজটি সামান্তরিক না আয়ত? তোমার মতামতের পক্ষে যুক্তি দাও।

১১। $A(0, -1), B(-2, 3), C(6, 7)$ এবং $D(8, 3)$ একটি চতুর্ভূজের চারটি বিন্দু

ক. $\frac{3}{2}x+5y-7=0$ এর ঢাল নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, বিন্দু চারটি একটি আয়ত গঠণ করে।

গ. দেখাও যে, $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}(ABCD$ চতুর্ভূজের ক্ষেত্রফল $)$

১২। একই সমতলে অবস্থিত চারটি ভিন্ন বিন্দু যথাক্রমে $A(0, -1), B(-2, 3), C(6, 7)$ এবং $D(8, k)$

ক. যদি $AB=CD$ হয়, তবে $k$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $k$ এর ক্ষুদ্রতম মানের জন্য দেখাও যে, $ABCD$ একটি আয়ত।

গ. ঢাল ব্যবহার করে দেখাও যে, $AB, BC$ -এর উপর লম্ব এবং $BD$ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

১৩। $P(0, -1), Q(-2, 3), R(6, 7)$ এবং $S(8, 3)$ কোনো চতুর্ভূজের চারটি শীর্ষবিন্দু।

ক. $PQ$ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $PQRS$ চতুর্ভূজের ক্ষেত্রফল $PQR$ ত্রিভূজে ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ।

গ. $QR$ রেখা $y$ -অক্ষকে $A$ বিন্দুতে এবং $PS$ রেখা $x$ -অক্ষকে $B$ বিন্দুতে ছেদ করলে $AB$ রেখার ঢাল নির্ণয় কর।

১৪। $A(3, 4), B(-4, 2), C(6, -1)$ ও $D(k, 3)$ বিন্দু চারটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত।

ক. $5x+6y=30$ রেখার ঢাল ও ছেদক নির্ণয় কর।

খ. $ABCD$ চতুর্ভূজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফলের তিনগুণ হলে, $k$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $A$ ও $B$ বিন্দুর সংযোগ রেখা $x$ ও $y$ অক্ষকে যথাক্রমে $M$ ও $N$ বিন্দুতে ছেদ করে। $MN$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

১৫। $A(3, 4), B(-4, 2), C(6, -1)$ এবং $D(k, 3)$ বিন্দু চারটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত।

ক. $A$ ও $B$ বিন্দুর সংযোগ সরলরেখা $x$ অক্ষের সাথে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।

খ. $P(x, y)$ বিন্দুটি $A$ ও $B$ থেকে সমদূরবর্তী হলে, দেখাও যে, $14x+4y-5=0$

গ. $ABCD$ চতুর্ভূজের ক্ষেত্রফল $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফলের তিনগুণ হলে, $k$ এর মান নির্ণয় কর।

১৬। $y=3x+4$ রেখাটি $x$ অক্ষকে $A$ বিন্দুতে $3x+y=10$ রেখাটি $y$ অক্ষকে $B$ বিন্দুতে ছেদ করে এবং রেখাদ্বয়ের ছেদ বিন্দু $P$ ।

ক. রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল নির্ণয় কর।

খ. $P$ বিন্দুগামী এবং $\frac{1}{3}$ ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. $\triangle ABP$ এর ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা নির্ণয় কর।

১৭। $3x-y-4=0$ এবং $3x+y-10=0$ সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দু $A$ এবং রেখা দুইটি $x$ -অক্ষকে $B$ ও $C$ বিন্দুতে ছেদ করে।

ক. রেখা দুইটির ঢাল নির্ণয় কর।

খ. $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

গ. $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

১৮। $x+3y=21, x-y=1, 2x+6y=10, 2x-2y=-30$ একটি চতুর্ভূজের চারটি বাহুর সমীকরণ।

ক. $3x+6y=10$ সরলরেখাটি $x$ -অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, চতুর্ভূজটি একটি সামান্তরিক।

গ. চতুর্ভূজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

১৯। $P(6, 12), Q(2, -3), R(6, -3), S(10, 12)$ একটি চতুর্ভূজের চারটি শীর্ষবিন্দু।

ক. $A(4, k^2+1)$ এবং $B(3, 3k)$ বিন্দুগামী রেখার ঢাল $-1$ হলে, $k$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $P, Q, R, S$ বিন্দু চারটি দ্বারা গঠিত চতুর্ভূজ আয়ত না সামান্তরিক নির্ণয় কর।

গ. $PQRS$ চতুর্ভূজটির যে অংশ প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থান করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

২০। একটি ত্রিভূজের তিনটি শীর্ষ $A(-2, -2), B(6, 6)$ এবং $C(-2, r)$ । $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল $32$ বর্গ একক এবং $A, B, C$ বিন্দু তিনটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত।

ক. $AB$ রেখার ঢাল নির্ণয় কর।

খ. $ABC$ ত্রিভূজটি কী ধরনের? স্বপক্ষে যুক্তি দাও।

গ. প্রদত্ত $A, B, C$ বিন্দুর সাথে $D(7, 1)$ ও $E(-4, 1)$ বিন্দু দিয়ে পঞ্চভূজ গঠণ কর এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

২১। $A, B, C$ ও $D$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $(5, 2), (-3, 2), (-5, -2)$ ও $(3, -2)$

ক. $AC$ রেখার ঢাল নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $ABCD$ একটি সামান্তরিক।

গ. $C$ বিন্দুগামী $BD$ রেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

২২। $A(a, 0), P(0, b), Q(1, 1)$ তিনটি বিন্দু এবং $BCDE$ চতুর্ভূজের চারটি শীর্ষবিন্দু $B(3k-2, k), C(6k, 6k+1), D(6+2k, 3k), E(-2k, k+2)$ ।

ক. ঢাল $2$ এবং $Q$ বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. $A, P, Q$ বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, দেখাও যে, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$

গ. $k=-1$ হলে, চতুর্ভূজটি অঙ্কন করে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

২৩। $P(8, 3), Q(3, 8)$ এবং $R(-2, 3)$ একটি ত্রিভূজের তিনটি শীর্ষ।

ক. $QR$ এর ঢাল নির্ণয় কর এবং রেখাটি $x$ অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $\triangle PQR$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভূজ এবং এর ক্ষেত্রফল $25$ বর্গ একক।

গ. $P$ এবং $Q$ এর সংযোগ রেখা $x$ অক্ষ ও $y$ অক্ষকে যথাক্রমে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করে। $AB$ এর সমীকরণ নির্ণয় কর এবং $AB$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

২৪। $xy$ সমতলে অবস্থিত $A(t+1, 10), B(2t+1, 3), C(2t+2, 2t)$ এবং $D(k^2, 2k)$ চারটি বিন্দু।

ক. $t=1$ হলে, $AB$ ও $BC$ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. $D$ বিন্দুগামী এবং $\frac{1}{k}$ ঢালবিশিষ্ট সরলরেখাটি যদি $(-2, 1)$ বিন্দু দিয়ে যায় তবে $k$ এর সম্ভাব্য মান নির্ণয় কর এবং $AB$ দ্বারা $Y$ অক্ষের ছেদাংশের মান নির্ণয় কর।